만년동 수학과외

3행 3열이라고 답한 이유 살펴보기

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 2행 3열 행렬과 3행 1열 행렬을 순서대로 곱하면 결과의 크기는 얼마인가? 학생이 “3행 3열이다.”라고 썼다면, 먼저 답만 보고 원인을 단정하지 않습니다. 행렬의 크기를 읽는 순서와 곱셈이 가능한 조건을 어떻게 이해했는지부터 살펴봅니다.

두 행렬을 각각 A와 B라고 하면 A의 크기는 2×3, B의 크기는 3×1입니다. 행렬의 앞 숫자는 행의 수, 뒤 숫자는 열의 수를 뜻합니다. 행렬의 곱 AB가 가능하려면 앞 행렬의 열 수와 뒤 행렬의 행 수가 같아야 합니다. 이 문제에서는 두 수가 모두 3이므로 곱셈이 가능합니다. 이 3은 결과의 크기를 정하는 수가 아니라, 두 행렬이 연결될 수 있는지 확인하는 안쪽 차원입니다.

안쪽 차원과 결과 배열을 구분하는 설명

교사는 “곱셈이 가능한지 판단할 때 어느 숫자를 비교했나요?”라고 묻고, 학생이 앞 행렬의 열 3과 뒤 행렬의 행 3을 가리키도록 돕습니다. 이어 “그렇다면 결과의 행은 어느 행을 따라가고, 결과의 열은 어느 열을 따라갈까요?”라고 질문합니다. 학생이 설명하기 어려워하면 교사가 먼저 “앞 행렬의 두 행은 각각 계산에 참여하고, 뒤 행렬의 한 열도 계산에 참여한다.”고 한 부분을 풀어 보입니다.

행렬의 곱에서는 앞 행렬의 각 행과 뒤 행렬의 각 열을 짝지어 성분을 만듭니다. 따라서 결과의 행 수는 앞 행렬의 행 수인 2, 결과의 열 수는 뒤 행렬의 열 수인 1입니다. 그러므로 AB의 크기는 2행 1열입니다. 처음 답인 3행 3열은 안쪽 차원에 사용된 3을 결과의 행과 열로 옮겨 적은 판단으로 볼 수 있지만, 실제로 어떤 이유로 그렇게 썼는지는 학생의 설명과 재풀이를 통해 구분해야 합니다. 개념은 말로 설명하지만 숫자를 옮기는 과정에서 틀렸다면 식을 세우는 순서를 다시 확인하고, 행과 열 자체를 혼동했다면 크기를 읽는 방법부터 함께 연습합니다.

이제 풀이와 정답을 잠시 가린 뒤 문제의 조건만 보고 학생이 다시 시작합니다. 학생은 먼저 A를 2×3, B를 3×1로 적고, 가운데 숫자 3과 3이 같으므로 곱이 가능하다고 판단합니다. 그다음 결과의 크기를 앞 행렬의 바깥쪽 수 2와 뒤 행렬의 바깥쪽 수 1로 정해 2×1이라고 씁니다. 이때 “앞 행렬에 행이 두 개이므로 결과에도 두 개의 성분이 생기고, 뒤 행렬에 열이 한 개이므로 결과 열도 하나다.”라고 문제 조건과 연결해 설명하게 합니다. 표시만 다시 하는 데서 끝내지 않고, 처음의 3행 3열이라는 답에서 안쪽 차원과 결과 크기를 구분한 점을 실제 결론에 반영하는지가 중요합니다.

두 성분이 만들어지는지 검산하기

이번 문제에는 각 행렬의 실제 원소가 주어지지 않았으므로 성분의 수치까지 계산할 수는 없습니다. 대신 결과 배열의 모양을 다른 방식으로 확인할 수 있습니다. 앞 행렬에는 두 행이 있고, 뒤 행렬에는 한 열이 있으므로 앞의 첫째 행과 뒤의 유일한 열을 곱해 첫 번째 성분을 만들고, 앞의 둘째 행과 같은 열을 곱해 두 번째 성분을 만듭니다. 따라서 결과는 성분 두 개가 세로로 놓이는 2행 1열입니다. 이 확인은 3행 3열이 될 수 없다는 점도 보여 줍니다. 뒤 행렬에 열이 하나뿐이므로 결과에 세 개의 열이 생길 수 없기 때문입니다.

학생이 풀이 순서를 따라 쓴 경우에는 수정 풀이를 가리고 같은 문제의 조건만 다시 제시합니다. 혼자 해결하지 못하면 행과 열의 위치를 읽는 개념이 필요한지, 결과 크기를 정하는 단계에서 막혔는지 나누어 도움을 조절합니다. 다른 방식으로 설명했더라도 앞 행렬의 행과 뒤 행렬의 열을 근거로 2행 1열을 얻었다면 인정할 수 있습니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단 확인하기

새 적용 문제로 3행 2열 행렬과 2행 4열 행렬의 곱을 살펴봅니다. 이번에는 안쪽 차원이 2와 2로 같으므로 곱이 가능합니다. 결과의 행은 앞 행렬의 세 행을 따르고, 결과의 열은 뒤 행렬의 네 열을 따르므로 결과의 크기는 3행 4열입니다. 세 행과 네 열을 짝지어 모두 12개의 성분이 만들어진다는 점도 함께 확인합니다. 이전 문제의 2×1을 외우는 것이 아니라, 앞의 행 수와 뒤의 열 수를 다시 읽어 적용하는지가 핵심입니다.

필요하다면 2행 3열 행렬과 3행 4열 행렬도 비교합니다. 안쪽의 3과 3이 같아 곱은 가능하지만, 결과는 앞의 두 행과 뒤의 네 열로 정해져 2행 4열입니다. 이 문제를 통해 “맞춰지는 안쪽 차원이 결과 크기”라는 설명은 곱셈 가능 조건을 말할 때와 결과 배열의 크기를 말할 때 구분해야 함을 확인합니다. 다음 수업에서는 학생이 풀이와 정답을 가린 상태에서 새 조건의 곱셈 가능 여부와 결과 크기를 스스로 정하고, 왜 그렇게 판단했는지 설명하는지를 확인합니다.