관저동 수학과외

대표 문제에서 드러난 오해

다음 문제에서 학생이 “49는 2, 3, 5로 나누어지지 않으므로 소수다.”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 49가 소수인지 판별하려면 몇 가지 수로 나누어지지 않는지만 확인하는 것이 아니라, 소수의 정의에 맞게 약수가 1과 자기 자신뿐인지 살펴봐야 합니다. 특히 49에는 7이라는 약수가 있고, 49=7²이므로 49는 소수가 아니라 합성수입니다.

이 답에서 바로 계산 실수라고 단정하기보다는 학생이 왜 2, 3, 5만 확인했는지 함께 묻습니다. 소수 약수 후보를 어디까지 살펴봐야 한다고 생각했는지, 소수의 뜻을 “약수가 두 개인 수”라고 설명할 수 있는지, 그리고 그 정의를 49에 적용할 수 있는지를 나누어 확인합니다. 약수의 개수를 세는 과정이 소수 판별의 핵심이라는 점을 알고도 7을 빠뜨렸다면 처음 정한 후보 범위와 조건 해석부터 다시 살펴봅니다.

조건을 다시 읽고 풀이를 고치는 과정

교사는 49의 제곱근이 7이라는 점을 짚으며, 49의 약수가 있는지 확인할 때 √49 이하의 소수 약수 후보를 빠짐없이 시험할 수 있다고 설명합니다. 이는 이 문제에서 약수 후보를 줄이는 방법이지, 모든 수를 몇 가지 작은 수로만 확인해도 된다는 뜻은 아닙니다. 학생이 이 설명을 한 번에 이해하기 어렵다면 교사가 2와 3을 확인하는 과정을 짧게 보여 준 뒤, 5와 7을 학생이 이어서 확인하도록 돕습니다.

학생은 처음의 “2, 3, 5로 나누어지지 않는다”는 판단에서, 후보를 임의로 끝내지 않고 √49 이하의 소수인 2, 3, 5, 7을 확인하는 방식으로 풀이를 고칩니다. 49÷2, 49÷3, 49÷5는 나누어떨어지지 않지만, 49÷7=7입니다. 따라서 7은 49의 약수이고, 49=7×7로 나타낼 수 있습니다. 학생은 “약수가 1과 49뿐이 아니므로 소수가 아니라 합성수”라고 문제의 조건과 연결해 결론을 씁니다. 계산이 막히면 교사가 49=7×7이라는 식을 함께 확인하고, 그 뒤 약수의 개수와 소수 여부를 학생이 다시 말하도록 합니다.

검산으로 결론 확인하기

수정한 풀이를 그대로 반복하기보다 49의 약수를 직접 정리해 결론을 확인합니다. 49를 나누어떨어지게 하는 자연수는 1, 7, 49이고, 약수가 세 개이므로 소수의 정의에 맞지 않습니다. 풀이 순서에 의존하는지 확인할 때는 수정 풀이와 정답을 가린 상태에서 문제의 수와 조건만 보고 다시 시작하게 합니다. 학생이 7을 후보에 포함하는 이유와 49=7²가 합성수라는 근거를 설명하는지 살피고, 혼자 진행하지 못하면 개념 설명이 필요한지 나눗셈 계산에서 막힌 것인지에 따라 도움의 양을 조절합니다.

새 조건에 적용하고 다음 확인하기

이제 기본 문제와 다른 수인 47이 소수인지 판별합니다. √47은 7보다 작으므로, √47 이하의 소수 약수 후보는 2, 3, 5입니다. 47은 이 세 수로 나누어떨어지지 않으므로 47은 소수입니다. 학생이 이전 문제의 7을 무조건 포함하는 것이 아니라, 수에 따라 제곱근 이하의 후보가 달라진다는 점을 적용하는지 확인합니다.

필요하다면 “2, 3, 5로 나누어지지 않으면 모든 자연수가 소수다”라는 설명이 항상 맞는지 121로 비교해 봅니다. √121은 11이고 121=11²이므로 121은 합성수입니다. 2, 3, 5만 확인해서는 충분하지 않으며, 해당 수의 제곱근까지 소수 약수를 살펴봐야 한다는 차이를 확인할 수 있습니다. 다음 수업에서는 학생이 풀이와 정답을 가린 상태에서 새 문제를 다시 풀고, 후보를 정한 이유와 최종 답의 근거를 설명하는지를 중심으로 살펴봅니다.