월평동 수학과외

7√2cm라고 답한 지점 살펴보기

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 예각 A가 45°인 직각삼각형에서 한 직각변의 길이가 7cm일 때 다른 직각변의 길이를 구하는 문제에 “7√2cm다.”라고 답했습니다. 이 문제의 최종 질문은 빗변이 아니라 나머지 직각변의 길이입니다. 따라서 먼저 어떤 변을 구해야 하는지, 주어진 7cm가 직각변인지 확인해야 합니다.

7√2는 한 변의 길이에서 바로 나오는 값이 아닙니다. 직각삼각형에서 두 직각변이 7cm일 때 피타고라스 정리를 사용하면 빗변이 7√2cm가 되지만, 이 문제는 빗변을 구하라고 하지 않았습니다. 다만 이 답만으로 계산 실수인지, 빗변과 직각변을 혼동한 것인지 단정하지 않고, 학생이 7√2를 어떤 식에서 얻었는지 먼저 확인합니다.

각도와 변의 관계를 함께 확인하기

교사는 예각 A가 45°라는 조건과 직각삼각형이라는 조건을 함께 짚습니다. 직각삼각형의 두 예각의 합은 90°이므로 다른 예각도 45°입니다. 두 예각이 같으면 그 예각의 맞은편에 있는 두 직각변의 길이도 같습니다. 따라서 이 문제는 45°를 기준으로 탄젠트를 사용해도 확인할 수 있습니다.

기준각 A에서 맞은편 직각변과 이웃한 직각변의 비는 tan A입니다. 두 직각변 중 하나가 7cm이고 A=45°이므로 tan45°=1입니다. 주어진 직각변을 이웃한 변으로 보면 다른 직각변을 x라 할 때 x/7=1이므로 x=7입니다. 기준각을 반대쪽 45°로 잡아도 두 직각변의 역할만 서로 바뀔 뿐, 두 변의 길이가 같다는 결론은 같습니다.

학생이 수정 풀이를 다시 구성하는 과정

설명을 한 번에 이해하기 어렵다면 교사는 두 직각변과 두 45°를 함께 표시하고, “지금 구해야 하는 것은 빗변인가, 다른 직각변인가?”를 차례로 묻습니다. 학생이 어느 변을 가리켜야 할지 막히면 교사가 주어진 7cm가 직각변이라는 부분까지 함께 확인한 뒤, 탄젠트의 분자와 분모가 어떤 변을 뜻하는지 짧게 보여 줍니다.

그다음 학생은 처음의 7√2cm라는 답에서 빗변을 구하려 했던 판단을 바꾸어, 다른 직각변을 x로 둡니다. tan45°=x/7=1이므로 x=7이라고 직접 계산합니다. 답을 7cm라고 쓰는 데서 그치지 않고, “두 예각이 각각 45°라서 두 직각변의 길이가 같고, tan45°도 1이므로 다른 직각변은 7cm이다.”라고 문제의 조건과 연결해 설명하도록 합니다.

검산과 새로운 조건에 적용하기

수정한 풀이를 확인할 때는 같은 식을 그대로 반복하기보다, 두 예각이 45°로 같다는 조건을 이용합니다. 7cm인 한 직각변과 다른 직각변 7cm가 서로 같은 각의 맞은편에 놓이므로 조건에 맞습니다. 반대로 7cm와 7√2cm를 두 직각변으로 놓으면 두 직각변의 길이가 같지 않아 45°와 45°인 직각삼각형의 조건에 맞지 않습니다. 풀이 순서를 따라 쓴 경우에는 풀이와 정답을 가린 뒤 문제의 조건만 보고 다시 시작하게 하며, 막힌 지점이 개념인지 계산인지에 따라 도움을 조절합니다.

새 적용 문제로, 두 직각변의 길이가 각각 7cm인 직각삼각형에서 tan45°를 구해 봅니다. 이번에는 길이와 각의 관계가 먼저 제시되므로 45°를 기준으로 맞은편과 이웃한 직각변을 확인하면 tan45°=7/7=1입니다. 추가로 길이 5, 12, 13인 직각삼각형을 비교하면 두 직각변은 5cm와 12cm로 서로 다릅니다. 따라서 모든 직각삼각형의 두 직각변이 같은 것이 아니라, 두 예각이 45°라는 조건이 있을 때에만 이 문제의 결론을 적용할 수 있습니다. 다음 확인에서는 학생이 풀이를 가린 상태에서 7cm 문제를 다시 해결하고, 왜 7√2가 빗변의 값인지와 왜 이번 답은 7cm인지 각각 설명하는지를 살펴봅니다.