괴정동 수학과외

끝점 값만 고른 풀이에서 놓친 조건

다음 문제에서 학생이 “끝점 값 5다.”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 문제는 0≤x≤4에서 y=(x-2)²+1의 최솟값을 구하는 것입니다. 끝점 x=0, x=4를 대입하면 각각 y=5가 되므로 계산 자체는 맞습니다. 그러나 구간의 최솟값을 찾을 때 끝점만 확인하면 되는지는 함수의 꼭짓점과 구간의 위치를 함께 살펴야 합니다.

이 식은 y=(x-2)²+1이므로 꼭짓점의 x좌표는 2입니다. 구간 0≤x≤4 안에 x=2가 포함되어 있으며, x=2일 때 제곱항은 0이 됩니다. 따라서 y=0+1=1이고, 끝점에서 얻은 5보다 작습니다. 처음 답이 틀린 이유를 계산 실수라고 바로 정하기보다, 학생이 끝점만 비교한 이유와 꼭짓점이 구간 안에 있는지 확인했는지를 나누어 살펴볼 필요가 있습니다.

조건을 확인하며 원인을 구분하는 과정

교사는 먼저 “이 문제에서 x가 가질 수 있는 범위는 어디까지인가요?”라고 묻고, 학생이 0≤x≤4를 다시 읽게 합니다. 이어 “이 식에서 제곱항이 가장 작아지는 x는 얼마인가요?”라고 확인합니다. 학생이 꼭짓점 x=2를 말할 수 있지만 끝점만 답한다면, 개념은 알고 있어도 구간 조건과 연결하는 단계에서 빠뜨린 것으로 볼 수 있습니다. 반대로 꼭짓점의 의미를 설명하지 못한다면, y=(x-2)²에서 x-2가 0이 될 때 제곱항이 가장 작아진다는 부분부터 함께 살핍니다.

학생이 막힌 경우 교사는 x=2를 먼저 대입해 y=1이 되는 한 단계를 보여 주고, x=0과 x=4에서의 값은 학생이 직접 계산하게 합니다. 이렇게 하면 단순히 “꼭짓점을 표시하라”는 지시에 그치지 않고, 구간 안의 후보와 양 끝점의 함수값을 실제로 비교하게 됩니다.

학생의 수정 풀이와 검산

문제와 조건은 보이게 두고 처음 풀이와 정답은 가린 상태에서 학생이 다시 시작합니다. 학생은 먼저 꼭짓점의 x좌표가 2이고 0≤2≤4이므로 구간 안에 포함된다고 씁니다. 그다음 꼭짓점에서 y=(2-2)²+1=1, 왼쪽 끝점에서 y=(0-2)²+1=5, 오른쪽 끝점에서 y=(4-2)²+1=5를 계산합니다. 세 후보 중 가장 작은 값이 1이므로 최솟값은 1이라고 결론 내립니다.

검산할 때는 같은 비교를 그대로 반복하기보다 제곱항의 성질을 확인합니다. 모든 실수 x에 대해 (x-2)²≥0이므로 y=(x-2)²+1은 1보다 작아질 수 없습니다. 또한 x=2가 주어진 구간 안에 있어 실제로 y=1을 만들 수 있습니다. 따라서 이 문제에서는 최솟값이 1이라는 결론이 조건과 계산에 모두 맞습니다. 이후에는 수정 풀이와 답을 가리고 같은 문제를 다시 풀게 하며, 꼭짓점 포함 여부와 최솟값의 근거를 설명하는지 확인합니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단을 확인하기

이전 문제와 식과 구간이 달라진 새 문제로 -2≤x≤3에서 y=(x+1)²+2의 최솟값을 제시합니다. 꼭짓점의 x좌표는 -1이고, -2≤-1≤3이므로 구간 안에 있습니다. 따라서 x=-1일 때 y=0+2=2가 최솟값입니다. 학생이 이전 문제의 숫자를 그대로 옮기는지 보지 않고, 새 식에서 제곱항이 0이 되는 값과 그 값이 구간에 포함되는지를 다시 판단하는지가 핵심입니다.

필요하면 0≤x≤6에서 y=(x-3)²+2도 비교할 수 있습니다. 양 끝점에서는 모두 11이지만, 구간 안의 꼭짓점 x=3에서는 y=2입니다. 이 비교는 위로 열린 이차함수의 최솟값을 양 끝점에서만 고르는 것이 항상 맞지는 않다는 점을 확인하는 데 도움이 됩니다. 다음 수업에서는 학생이 풀이를 가린 상태에서도 꼭짓점과 구간을 먼저 확인하고, 새 조건에서 최솟값의 근거를 설명하는지 살펴봅니다.