내동 수학과외

맞힌 개수만으로 점수를 나눈 오답

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 1점 문제와 3점 문제를 합해 모두 8개 맞혔고, 얻은 점수는 16점입니다. 학생이 “16÷8=2이므로 2점 문제가 8개다.”라고 했다면, 계산 자체보다 무엇을 8로 나누고 있는지를 먼저 살펴볼 필요가 있습니다. 8은 맞힌 문제의 개수이고 16은 전체 점수이므로, 16÷8은 문제 한 개당 평균 점수를 구할 뿐 2점 문제의 개수를 알려 주지 않습니다. 실제 문제에는 2점 문제가 있다는 조건도 제시되지 않았습니다.

이 문제에서 구해야 하는 것은 한 종류의 문제 개수가 아니라 1점 문제와 3점 문제의 각각의 개수입니다. 따라서 문제 수에 대한 조건과 점수에 대한 조건을 따로 세워야 합니다.

두 조건을 서로 다른 식으로 나타내기

교사는 먼저 “8은 무엇을 더한 수이고, 16은 무엇을 더한 수일까?”라고 묻습니다. 학생이 바로 설명하기 어렵다면, 1점 문제의 개수를 x, 3점 문제의 개수를 y로 놓는 부분부터 함께 씁니다. 맞힌 문제의 전체 개수가 8개이므로 x+y=8입니다. 여기서 x와 y는 각각 문제의 개수를 뜻합니다.

점수는 문제 수에 배점을 곱해 더해야 합니다. 1점 문제 x개의 점수는 1x이고, 3점 문제 y개의 점수는 3y이므로 전체 점수 조건은 x+3y=16이 됩니다. 두 식은 모두 같은 8개를 설명하는 식이 아니라, 하나는 문제 개수의 합을, 다른 하나는 배점이 반영된 점수의 합을 나타냅니다. 두 미지수의 값을 정하려면 이렇게 서로 다른 두 조건이 필요합니다.

교사가 첫 번째 식을 정리해 x=8-y라고 보여 준 뒤, 학생이 이어서 두 번째 식에 대입해 보도록 합니다. 그러면 (8-y)+3y=16이고, 정리하면 2y=8이므로 y=4입니다. 3점 문제는 4개이고, x=8-4=4이므로 1점 문제도 4개입니다. 처음의 16÷8=2라는 판단은 문제 한 개의 평균 점수를 구한 것이며, 두 종류의 문제 개수를 구하는 식으로 사용할 수 없었다는 점을 학생이 문제 조건과 연결해 고쳐 봅니다.

학생의 재시도와 조건에 맞춘 검산

이제 수정 풀이와 답을 가린 상태에서 학생이 같은 문제를 다시 시작합니다. 문제의 수치와 조건은 보되, 앞에서 적은 식과 정답은 보지 않게 하고, 먼저 “전체 개수”와 “전체 점수”를 각각 문장으로 바꾸어 적도록 합니다. 학생이 두 식을 세운 뒤 계산에서 막히면 교사는 대입할 한 단계만 함께 처리하고, 다음 정리는 학생이 계속 시도하도록 도움을 조절합니다. 계산 결과만 맞히는 것이 아니라 x와 y가 각각 어떤 문제의 개수인지 설명하는지도 확인합니다.

구한 값은 원래 조건에 대입해 확인합니다. 1점 문제 4개와 3점 문제 4개이면 맞힌 문제 수는 4+4=8개이고, 점수는 1×4+3×4=4+12=16점입니다. 두 조건을 모두 만족하므로 답은 1점 문제 4개, 3점 문제 4개입니다. 다른 방법으로 풀었더라도 문제 수와 배점의 관계를 정확히 반영하고 계산이 맞으면 같은 풀이로 인정할 수 있습니다.

새 배점에서도 같은 구조를 적용하기

다음 적용 문제는 2점 문제와 5점 문제를 합해 12개 맞혔고, 총점은 39점입니다. 앞 문제와 배점이 달라졌지만, 문제 개수의 합과 점수의 합을 따로 세운다는 구조는 같습니다. 2점 문제를 x개, 5점 문제를 y개라고 하면 x+y=12, 2x+5y=39입니다. x=12-y를 두 번째 식에 넣으면 2(12-y)+5y=39, 즉 24+3y=39이므로 y=5입니다. 따라서 5점 문제는 5개, 2점 문제는 7개입니다.

검산하면 문제 개수는 7+5=12개이고 점수는 2×7+5×5=14+25=39점입니다. 이후에는 새로운 수치에서도 두 식을 직접 세울 수 있는지, 풀이를 가린 뒤 다시 해결할 수 있는지, 그리고 왜 단순히 총점을 맞힌 개수로 나누면 안 되는지를 설명할 수 있는지를 다음 확인 기준으로 삼습니다. 필요하면 맞힌 개수는 같지만 배점이 다른 경우를 비교해, 문제 수와 점수의 합을 구별하는 연습으로 이어 갑니다.