반월동 수학과외

합의 조건과 9라는 오답 살펴보기

다음 문제에서 학생이 “작은 수의 최댓값은 9다.”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 문제는 연속한 두 자연수의 합이 17 이하일 때 작은 수의 최댓값을 구하는 것입니다. 여기서 구해야 하는 것은 두 수의 합이 아니라 두 수 중 작은 자연수입니다. 연속한 두 자연수라는 조건에 따라 작은 수를 자연수 n으로 두면 큰 수는 n+1이 됩니다. 따라서 두 수의 합은 n+(n+1)이고, 문제의 조건은 n+(n+1)≤17로 나타낼 수 있습니다.

9라는 답만 보고 곧바로 개념을 잘못 이해했다고 단정하지는 않습니다. 학생이 17 이하라는 말을 식에 어떻게 옮겼는지, n과 n+1을 연속한 수로 생각했는지, 또는 부등식을 계산하는 중 어느 단계에서 달라졌는지를 먼저 살핍니다. 교사는 “9와 그다음 자연수의 합은 얼마인가요?”, “17 이하라는 조건을 만족하나요?”라고 물으며 답을 문제의 조건에 직접 대입해 보게 합니다. 이 확인을 통해 요구를 잘못 읽은 것인지, 경계값을 고르는 과정에서 판단이 달라진 것인지 구분할 수 있습니다.

작은 수를 문자로 놓고 부등식 세우기

교사는 처음부터 풀이 전체를 대신 말하기보다, 학생이 놓치기 쉬운 조건을 한 단계씩 짚습니다. “작은 수를 n이라고 하면 연속한 다음 자연수는 무엇인가요?”라고 물어 n+1을 확인하게 합니다. 학생이 이 부분에서 막히면 교사가 연속한 자연수의 예를 짧게 들어 n, n+1의 관계를 보여 준 뒤 다시 문제에 적용하도록 돕습니다. 두 수의 합이 17 이하이므로 n+(n+1)≤17입니다. 왼쪽을 정리하면 2n+1≤17이고, 양변에서 1을 빼면 2n≤16, 양변을 2로 나누면 n≤8입니다.

여기서 n≤8은 작은 수가 8 이하라는 뜻이지, 답이 자동으로 9가 된다는 뜻이 아닙니다. n은 자연수이므로 조건을 만족하는 값 가운데 가장 큰 값을 골라야 합니다. 따라서 작은 수의 최댓값은 8입니다. 학생은 “9를 답으로 고른 판단을 바꾸어, 합이 17 이하가 되도록 하는 작은 수의 가장 큰 값을 찾아야 한다”고 문제 조건과 연결해 설명한 뒤, n=8을 식에 대입해 결론을 완성합니다.

조건에 대입해 결과 확인하기

수정한 답이 실제 조건을 만족하는지 확인하기 위해 8과 그다음 자연수 9를 더하면 8+9=17입니다. 17은 17 이하이므로 조건을 만족합니다. 반대로 작은 수를 9로 두면 연속한 두 자연수는 9와 10이고, 합은 9+10=19입니다. 19는 17 이하가 아니므로 9는 가능한 최댓값이 아닙니다. 이 검산은 부등식을 같은 방식으로 다시 반복하는 것이 아니라, 구한 값과 오답을 원래 조건에 직접 대입해 비교하는 과정입니다.

풀이 순서를 따라 쓸 수 있는지 확인하는 것만으로 충분하지 않으므로, 교사는 수정 풀이와 정답을 가린 뒤 문제의 수치와 조건만 보이게 하고 학생이 다시 시작하도록 합니다. 혼자 식을 세우지 못하면 연속한 두 수를 n과 n+1로 놓는 부분을 함께 확인하고, 이후 합을 부등식으로 나타내고 최댓값을 고르는 단계는 학생이 다시 시도하게 합니다. 답을 맞혔는지뿐 아니라 왜 8을 선택했고 왜 9를 제외했는지 설명하는지를 다음 확인 기준으로 삼습니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단으로 넓히기

같은 방법이 새로운 수치에서도 쓰이는지 확인하기 위해 다음 문제를 적용합니다. 연속한 두 자연수의 합이 31보다 작을 때 작은 수의 최댓값을 구합니다. 작은 수를 n으로 두면 n+(n+1)<31, 즉 2n+1<31입니다. 따라서 2n<30, n<15이고, 자연수 중 조건을 만족하는 가장 큰 값은 14입니다. 14와 15의 합은 29로 31보다 작지만, 15와 16의 합은 31로 ‘31보다 작다’는 조건을 만족하지 않습니다. 이전 문제의 ‘17 이하’와 새 문제의 ‘31보다 작다’는 표현이 다르므로, 경계값을 포함하는지 확인한 뒤 최댓값을 판단해야 합니다.

필요하다면 나눗셈에서 소수 부분을 언제 버리거나 올려야 하는지도 비교해 볼 수 있습니다. 한 상자에 10개까지 담을 수 있고 물건 31개를 모두 담아야 한다면 31÷10=3.1이므로 상자 3개로는 30개만 담을 수 있습니다. 남은 1개까지 담으려면 최소 4개가 필요해 이 경우에는 올림합니다. 이는 모든 나눗셈에서 소수 부분을 버리는 규칙이 아니라, 문제의 조건과 구해야 하는 값에 따라 판단하는 예입니다. 다음 수업에서는 학생이 새 적용 문제를 풀이와 정답을 가린 상태에서 다시 해결하고, 부등식의 경계와 자연수 조건을 근거와 함께 설명하는지를 확인합니다.