송천지구 수학과외

끝점만 보고 고른 최댓값

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. -1≤x≤2에서 y=-x²+4의 최댓값을 구하는 문제에 대해 “끝점 x=2에서 0이다”라고 풀이한 상황입니다. 실제로 x=2를 식에 대입하면 y=-(2)²+4=0이므로 계산 자체는 맞습니다. 그러나 문제는 x=2에서의 함수값이 아니라 주어진 구간 전체에서 가장 큰 함수값을 묻고 있습니다. 한 점의 값을 계산한 것과 최댓값을 결정한 것은 서로 다른 판단입니다.

이 답이 나온 이유를 곧바로 계산 실수라고 단정하지 않습니다. 교사는 “x=2에서 0이라는 값은 구했는데, 왜 그 값이 구간 안에서 가장 크다고 생각했을까?”라고 묻고, 구간의 다른 후보도 확인하게 합니다. 학생이 끝점만 살펴본 이유를 설명하지 못하더라도 x=-1, x=0을 차례로 식에 넣어 보며 어느 단계에서 판단이 달라지는지 함께 찾습니다.

꼭짓점이 구간 안에 있는지 먼저 확인하기

교사는 이 함수가 y=-(x)²+4의 꼴이며 제곱항의 계수가 음수라는 점을 짚습니다. 따라서 그래프는 아래로 열리고, 꼭짓점은 x=0일 때 나타납니다. 여기서 중요한 것은 아래로 열린다는 사실만 외우는 것이 아니라, 꼭짓점 x=0이 문제에서 허용한 구간 -1≤x≤2 안에 포함되는지 확인하는 것입니다. 이번 문제에서는 0이 구간 안에 있으므로 꼭짓점의 함수값을 최댓값 후보로 살필 수 있습니다.

학생이 이 설명을 바로 적용하기 어렵다면 교사는 “x=0이 범위 밖이라면 그 점을 답으로 쓸 수 있을까?”라고 짧게 상황을 바꾸어 질문합니다. 그런 다음 대표 문제로 돌아와 구간 안의 꼭짓점과 끝점을 비교하게 합니다. 끝점에서는 y(-1)=-(-1)²+4=3, y(2)=-(2)²+4=0이고, 꼭짓점에서는 y(0)=-(0)²+4=4입니다. 따라서 구간 안에서 가장 큰 값은 4입니다.

학생의 수정 풀이와 검산

학생은 처음의 “x=2에서 0”이라는 계산을 지우는 대신, 그것이 최댓값이 될 수 있는지 확인하지 않은 판단을 고칩니다. 먼저 꼭짓점의 x좌표 0이 -1≤x≤2를 만족한다고 쓰고, y(0)=4를 구합니다. 이어 양 끝점의 함수값 3과 0을 비교하여 4가 가장 크다고 결론 내립니다. 이렇게 하면 x=2에서 0이라는 값도 구간의 한 후보로는 남지만, 최종 답은 아니라는 점을 구분할 수 있습니다.

검산은 풀이를 그대로 반복하지 않고 식의 범위를 이용해 확인합니다. 모든 실수 x에 대해 x²≥0이므로 -x²≤0입니다. 따라서 y=-x²+4≤4이고, x=0일 때만 -x²=0이 되어 y=4가 됩니다. 특히 x=0은 주어진 구간에 포함되므로 이 문제의 최댓값은 4라는 결론과 일치합니다. 이후에는 수정 풀이와 정답을 가린 상태에서 학생이 문제의 조건만 보고 꼭짓점의 포함 여부와 후보 비교를 다시 수행하는지 확인합니다. 막히는 지점이 개념인지 계산인지에 따라 설명량을 조절합니다.

꼭짓점이 구간 밖일 때의 새 적용

이전 문제와 다른 조건으로 y=-(x-3)²+10, 0≤x≤1의 최댓값을 살펴봅니다. 꼭짓점은 x=3에서 생기지만 3은 구간 [0,1] 밖에 있으므로, 꼭짓점의 값 10을 이 문제의 답으로 쓸 수 없습니다. 학생은 구간의 끝점을 계산하여 y(0)=-(0-3)²+10=1, y(1)=-(1-3)²+10=6을 얻고, 구간 내 최댓값이 6임을 판단합니다. 이어 y=-(x-2)²+7을 모든 실수에서 보면 x=2에서 7이고 항상 y≤7이므로 꼭짓점은 최댓값이 됩니다. 이 비교를 통해 제곱항의 계수가 음수라는 사실과 꼭짓점이 실제 허용 구간에 포함되는지는 함께 확인해야 한다는 점을 다음 학습에서 다시 살핍니다.