반월동 중등수학과외

자료의 개수가 바뀌면 중앙값의 위치도 달라진다는 점을 확인하기 위해, 수업은 새로운 조건의 문제로 시작한다. 자료 2, 4, 4, 7, 9, 10에 100을 한 개 추가했을 때 중앙값을 구하는 문제다. 학생은 먼저 자료를 이미 정렬된 순서로 보고 100은 가장 뒤에 들어간다고 표시했다. 이제 자료는 모두 일곱 개가 되므로 가운데 위치는 네 번째이고, 네 번째 값은 7이다. 따라서 이 문제의 중앙값은 7이다. 교사는 “자료 수가 여섯 개일 때와 일곱 개일 때, 가운데를 정하는 방법이 어떻게 달라졌지?”라고 물었다. 학생은 짝수 개일 때는 가운데 두 값을 확인하지만 홀수 개일 때는 가운데 한 값을 찾는다고 말한 뒤, 100이 끝에 들어가도 네 번째 위치가 바뀌지 않는 이유를 자료의 개수와 함께 설명했다.

2, 4, 4, 7, 9, 10에서 두 가운데 값 찾기

이제 비교할 문제로 자료 9, 2, 7, 4, 4, 10의 중앙값을 구하게 했다. 학생은 처음에 “중복된 4를 지우면 2, 4, 7, 9, 10이므로 중앙값은 7”이라고 적었다. 정렬하려고 자료의 순서를 바꾼 부분은 맞았지만, 같은 값 하나를 삭제하면서 자료의 개수를 다섯 개로 바꾼 판단에서 풀이가 달라졌다. 교사는 곧바로 원인을 단정하지 않고 “4가 두 번 관측된 사실을 지워도 자료 개수가 같은가?”라고 물었다. 학생은 말로는 두 번 기록된 값이라고 설명했지만, 자신의 첫 식에서는 4를 한 번만 남겼다. 이처럼 질문에 대한 설명과 실제로 쓴 자료를 나란히 놓으니, 개념을 전혀 모른다고 결론 내리지 않고 중복 자료를 처리한 첫 지점만 확인할 수 있었다.

중복된 값도 남겨 정렬한 수정 풀이

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고 “같은 값도 서로 다른 관측이면 각각 한 개의 자료다”라는 기준만 제시했다. 이어서 짝수 개 자료에서는 가운데 한 값이 아니라 가운데 두 값을 찾아야 한다는 점을, 정렬된 자리에 표시하는 한 단계로 보여 주었다. 학생은 가려 둔 풀이를 직접 다시 작성해 2, 4, 4, 7, 9, 10으로 정렬했다. 자료가 여섯 개이므로 세 번째와 네 번째 값인 4와 7이 가운데 두 값이고, 두 값의 평균은 (4+7)÷2=11÷2=5.5라고 적었다. 처음 풀이와 달라진 부분은 4를 삭제하지 않고 두 번 남긴 것, 그리고 다섯 개 자료의 가운데 값 대신 여섯 개 자료의 가운데 두 값을 평균 낸 것이다. 학생은 정답을 적은 뒤 본 계산과 다른 방식으로 결과를 확인했다. 5.5를 기준으로 보면 앞의 세 값 2, 4, 4는 모두 5.5 이하이고 뒤의 세 값 7, 9, 10은 모두 5.5 이상이다. 따라서 5.5는 가운데 두 값 4와 7 사이에 놓여 원래 자료의 위치 조건을 만족한다.

반월동중등수학과외 수업에서는 다음 문제에서 자료 2, 4, 4, 7, 9, 10에 100을 추가해 자료 수를 짝수에서 홀수로 바꾼다. 학생은 도움 없이 중복된 4를 횟수만큼 남겨 일곱 값을 정렬하고, 네 번째 값이 7인 이유를 말한 뒤 100이 끝에 들어가는 조건까지 표시해야 한다. 교사는 정답 7만 보는 것이 아니라, 짝수일 때의 두 가운데 값과 홀수일 때의 한 가운데 값이 어떻게 달라지는지 학생이 자신의 식과 설명으로 구분하는지 확인한다.