진북동 수학과외

악수 횟수와 인원수를 연결하기

다음 문제에서 학생이 “n=10이다.”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 현재 n명인 모임에서 서로 다른 두 사람이 한 번씩 악수하여 모두 10번의 악수가 이루어졌을 때, 구해야 하는 것은 악수 횟수가 아니라 모임의 인원수입니다. 따라서 10을 곧바로 n으로 놓을 수는 없습니다. 한 사람이 자신을 제외한 n-1명과 악수하지만, 두 사람 사이의 악수는 양쪽 사람의 입장에서 두 번 세어지므로 전체 악수 횟수는 n(n-1)/2로 나타냅니다.

어느 판단에서 어긋났는지 확인하기

교사는 처음부터 계산 실수라고 단정하지 않고, 학생에게 “10은 문제에서 무엇을 나타내고, n은 무엇을 구하는 문자일까?”라고 묻습니다. 학생이 악수 횟수와 사람 수를 혼동한 것인지, 한 쌍을 두 번 세는 상황을 빠뜨린 것인지, 식을 세운 뒤 계산에서 틀린 것인지를 나누어 확인합니다. 설명하기 어려워하면 교사가 두 사람의 악수는 한 번으로 세어야 한다는 부분을 먼저 짚고, n명이 각각 n-1명과 만나는 횟수를 세어 보게 합니다. 이때 방정식의 해와 실제 사람 수로 가능한 값을 구분해야 한다는 점도 함께 확인합니다.

식의 의미를 고쳐 쓰고 다시 풀기

학생은 교사의 설명을 바탕으로 10을 n으로 놓는 대신, 악수 횟수를 나타내는 식을 세웁니다. 한 사람씩 세면 n(n-1)번이지만 같은 악수를 두 번 센 것이므로 2로 나누어 n(n-1)/2=10을 세웁니다. 양변에 2를 곱하면 n(n-1)=20이고, 정리하면 n²-n-20=0입니다. 이를 인수분해하면 (n-5)(n+4)=0이므로 방정식의 해는 n=5 또는 n=-4입니다.

여기서 두 값을 모두 실제 인원수로 받아들이지는 않습니다. 방정식의 해라는 관점에서는 두 값이 나오지만, 인원수는 양의 정수여야 하므로 n=-4는 문제의 상황에 맞지 않습니다. 따라서 처음의 n=10이라는 판단을 버리고, 식이 나타내는 대상과 사람 수라는 조건을 함께 적용하여 인원수는 5명이라고 결론 냅니다. 교사가 일부 계산을 함께 보여 준 뒤에는 학생이 직접 이 식을 완성하고, 왜 -4를 제외하는지 말하거나 적어 보게 합니다.

검산과 새로운 조건에 적용하기

검산할 때 같은 이차방정식을 반복해서 푸는 대신, 5명이 각자 자신을 제외한 4명과 악수한 횟수를 먼저 세면 5×4=20회입니다. 이 값은 각 악수를 두 사람의 관점에서 한 번씩 센 결과이므로 2로 나누면 실제 악수 횟수는 10회가 됩니다. 원래 조건과 맞으므로 5명이라는 답을 확인할 수 있습니다. 풀이 순서를 외운 것인지 확인하려면 풀이와 정답을 가리고, 학생이 조건만 보고 식을 다시 세우게 합니다. 막히면 개념 설명이 필요한지, 인수분해나 계산에서 도움이 필요한지에 따라 지원을 조절합니다.

새 문제로 서로 다른 사람들이 모든 쌍마다 한 번씩 악수하여 총 15번 했다면, 조건과 방법은 같고 악수 횟수만 달라집니다. 따라서 n(n-1)/2=15, 즉 n²-n-30=0이고 (n-6)(n+5)=0이므로 n=6 또는 n=-5입니다. 인원수는 양의 정수이므로 답은 6명입니다. 추가로 넓이가 64cm²인 정사각형의 한 변을 x라고 하면 x²=64에서 실근은 ±8이지만, 길이는 양수여야 하므로 x=8cm만 가능합니다. 이 비교를 통해 학생이 방정식의 모든 실근을 상황에 그대로 적용하는지, 실제 조건에 맞는 해를 선택하는지를 다음 확인에서 살펴볼 수 있습니다.