금암동 수학과외

대표 문제에서 드러난 오해

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. √((-3)²)을 계산하라. 학생은 “제곱과 근호를 지워 -3이다.”라고 풀이했습니다. 최종 답 -3은 문제의 정답과 다릅니다. 먼저 안쪽의 (-3)²를 계산하면 9가 되므로 식은 √9로 바뀝니다. 따라서 이 문제는 처음 수 -3을 그대로 찾는 것이 아니라, 제곱한 결과 9의 제곱근 중 근호 기호가 뜻하는 값을 구하는 문제입니다.

이때 오답 하나만 보고 곧바로 계산 실수라고 단정하지 않습니다. 교사는 학생에게 “(-3)을 제곱하면 어떤 수가 되는가?”, “√9에서 근호가 가리키는 값은 무엇인가?”를 차례로 묻습니다. 학생이 제곱은 설명하지만 √9를 -3으로 정한다면 제곱근과 근호의 의미를 섞었을 가능성이 있습니다. 반대로 (-3)²를 -9로 계산한다면 음수를 제곱하는 과정부터 다시 살펴봅니다. 학생이 이유를 말하기 어려워해도 교사가 두 단계를 나누어 함께 확인한 뒤, 이어지는 판단을 다시 시도하게 할 수 있습니다.

교사의 설명과 수정 풀이

교사는 먼저 “음수도 제곱하면 양수가 된다”는 점을 문제의 수치에 연결합니다. (-3)²는 (-3)×(-3)이므로 9입니다. 그다음 √9는 제곱해서 9가 되는 수 가운데 음이 아닌 제곱근 하나를 나타낸다고 설명합니다. 9의 제곱근은 3과 -3 두 개이지만, √9라는 표기는 그중 음이 아닌 값 3을 뜻합니다. 그러므로 √((-3)²)는 √9=3입니다.

설명을 들은 학생은 처음의 “제곱과 근호를 지워 -3”이라는 판단에서, 근호 밖의 결과를 원래 수 -3으로 되돌리려 한 부분을 고칩니다. 문제를 다시 보며 먼저 (-3)²=9를 적고, 이 결과에 근호를 적용해 √9=3이라고 이어서 씁니다. 단순히 부호에 표시만 하는 것으로 끝내지 않고, “제곱 뒤에는 9가 되고, √ 기호는 음이 아닌 제곱근을 선택하므로 답은 3”이라고 문제의 조건과 연결해 결론을 말하도록 합니다. 필요한 경우 교사가 첫 번째 계산인 (-3)×(-3)=9까지 함께 보여 준 뒤, 학생이 √9의 값을 직접 정하게 합니다.

검산으로 결과 확인하기

이 문제의 검산은 풀이를 그대로 반복하는 대신 결과의 성질을 확인하는 방식으로 진행합니다. 근호값인 3은 음이 아닌 수여야 하고, 3²=9입니다. 또한 원래 안쪽의 값은 (-3)²=9이므로 3²=(-3)²가 성립합니다. 이 확인은 답이 -3일 수 없는 이유도 보여 줍니다. -3 역시 제곱하면 9를 만들지만, √9의 표기에서는 음이 아닌 제곱근을 선택하기 때문입니다.

학생이 풀이 순서를 따라 쓴 것인지 확인하려면 수정 풀이와 정답을 가리고 같은 문제를 다시 시작하게 합니다. 혼자 막히면 제곱 계산에서 어려운지, √ 기호의 의미를 선택하는 단계에서 어려운지 나누어 보고 도움의 정도를 조절합니다. 다른 풀이를 사용하더라도 각 계산과 부호의 근거가 문제의 조건에 맞으면 인정할 수 있습니다.

새 조건에 적용하고 다음을 확인하기

기본 문제와 구분해 √((-12)²)를 계산하라를 제시합니다. 바뀐 것은 안쪽의 수가 -3에서 -12로 커진 점뿐이며, 음수를 먼저 제곱한 뒤 그 결과의 음이 아닌 제곱근을 구하는 순서는 같습니다. (-12)²=144이고 √144=12이므로 답은 12입니다. 학생이 이전 답을 외워 쓰는지, 아니면 “144의 음이 아닌 제곱근이므로 12”라고 근거를 붙이는지 확인합니다.

중심 오해를 더 분명히 구분할 필요가 있을 때는 x=-5인 경우를 비교 자료로 사용할 수 있습니다. √(x²)에서 x=-5를 대입하면 √25=5이지만 x 자체는 -5입니다. 따라서 이 사례에서는 √(x²)=x가 아니라 √(x²)=|x|로 나타내야 합니다. 먼저 새 적용 문제를 이전 풀이와 정답을 가린 상태에서 해결하게 하고, 이후 이런 부호가 다른 조건에서도 근호의 뜻을 설명하고 적용하는지를 다음 확인 기준으로 삼습니다.