전주중동 수학과외

대표 문제와 처음 어긋난 판단

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “공집합은 {1, 2}의 부분집합인가?”라는 질문에 학생이 “원소가 없어 부분집합이 아니다.”라고 답했습니다. 이 답은 공집합의 원소 개수와 부분집합의 조건을 서로 다르게 이해한 데서 나온 것일 수 있습니다. 부분집합인지 판단할 때 먼저 볼 것은 두 집합의 원소 개수가 같은지, 또는 부분집합에 원소가 실제로 들어 있는지가 아닙니다. 집합 A가 집합 B의 부분집합이라는 뜻은 A의 모든 원소가 B에도 속한다는 것입니다. 따라서 이 문제에서는 공집합에 들어 있는 원소가 {1, 2}에 속하는지 확인해야 합니다.

교사는 학생에게 “공집합에서 {1, 2}에 속하지 않는 원소를 하나 찾아볼 수 있을까?”라고 묻습니다. 학생이 원소가 없다는 사실 때문에 답을 정하지 못하면, 교사가 “부분집합이 아니라고 하려면 공집합에 있으면서 {1, 2}에는 없는 원소가 적어도 하나 있어야 한다”고 한 단계씩 설명합니다. 이 질문은 단순히 답을 고르게 하는 것이 아니라, 어떤 조건이 성립하지 않아야 부분집합이 아닌지를 확인하게 합니다.

오답의 원인을 구분하는 확인

학생이 “원소가 없으니 조건을 확인할 수 없다”고 생각한 것인지, 아니면 부분집합에는 반드시 원소가 있어야 한다고 잘못 이해한 것인지는 바로 단정하지 않습니다. 교사는 먼저 “부분집합이 아니라면 어떤 원소가 문제를 일으켜야 할까?”라고 다시 묻고, 공집합과 {1, 2}의 원소를 말로 비교하게 합니다. 이때 학생이 부분집합의 정의는 설명하지만 결론만 틀렸다면 개념 전체보다 처음 세운 판단을 살펴봅니다.

또한 합집합과 부분집합을 혼동했는지도 확인할 수 있습니다. 합집합에서는 두 집합에 공통으로 들어 있는 원소를 한 번만 세지만, 부분집합에서는 한 집합의 모든 원소가 다른 집합에 포함되는지를 봅니다. 여집합은 정해진 전체집합을 기준으로 정하는 개념이므로, 이 문제의 부분집합 판단과 같은 연산으로 처리하지 않습니다. 서로 다른 개념을 구분한 뒤 대표 문제의 조건으로 돌아옵니다.

교사의 설명과 학생의 수정 풀이

교사는 공집합을 ∅으로 쓰고, 부분집합의 조건을 “모든 x에 대하여 x∈∅이면 x∈{1, 2}”라고 풀어 말합니다. 여기서 중요한 점은 ∅에 실제 원소가 하나도 없다는 것입니다. 그러므로 ∅에 속하면서 {1, 2}에는 속하지 않는 반례가 존재할 수 없습니다. 부분집합 조건을 어기는 원소가 없으므로 ∅⊆{1, 2}입니다.

설명을 들은 학생은 처음의 “원소가 없어 부분집합이 아니다”라는 판단에서, ‘원소가 반드시 있어야 한다’고 생각한 부분을 고칩니다. 학생은 먼저 공집합의 원소를 확인하고, 확인할 원소가 없다는 사실을 부분집합 조건과 연결합니다. 이어 “공집합의 모든 원소가 {1, 2}에 속해야 하는데, 공집합에는 그 조건을 위반할 원소가 없다. 따라서 공집합은 {1, 2}의 부분집합이다.”라고 결론을 씁니다. 교사는 필요한 경우 첫 문장인 부분집합의 정의만 함께 정리하고, 반례가 없는 이유와 최종 결론은 학생이 다시 말하고 적도록 돕습니다.

검산과 새 조건에 대한 적용

검산은 같은 풀이를 그대로 반복하는 대신, 부분집합이 아니라고 판단하려면 어떤 원소가 필요한지 거꾸로 확인하는 방식으로 진행합니다. 공집합에서 원소를 하나 골라 {1, 2}에 속하지 않는지 검사해야 하지만, 애초에 고를 원소가 없습니다. 따라서 원래 조건을 위반하는 원소가 없다는 결론과 ∅⊆{1, 2}가 서로 일치합니다. 학생이 풀이 순서를 외워 쓴 것이라면 정답과 해설을 가리고 문제의 조건만 보게 한 뒤 처음부터 다시 판단하게 합니다.

다음에는 “공집합은 원소가 있는 집합의 부분집합이 될 수 있는가? {7}을 예로 설명하라.”를 적용합니다. {7}에는 원소 7이 있지만, 공집합에는 여전히 원소가 없습니다. 따라서 공집합에 속하면서 {7}에 속하지 않는 원소가 없으므로 ∅⊆{7}이고, 공집합은 {7}의 부분집합이 될 수 있습니다. 학생이 이 결론을 스스로 설명하는지, 이전 문제의 숫자만 바꾼 것이 아니라 ‘반례가 없는지 확인한다’는 방법을 새 집합에 적용하는지를 확인합니다.

필요하다면 “A={5}일 때 A⊆∅인가?”도 비교합니다. 이 경우에는 5가 A에는 속하지만 공집합에는 속하지 않으므로 A⊆∅는 거짓입니다. ∅⊆A와 A⊆∅는 방향이 다른 주장이라는 점이 핵심입니다. 다음 수업에서는 학생이 대표 문제의 답을 가린 상태에서 부분집합의 정의를 이용해 다시 해결하고, 공집합과 {7}, {5}의 포함 방향을 근거와 함께 설명하는지를 확인합니다.