에코시티 수학과외

다리 수를 바로 나누면 생기는 오류

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 닭과 토끼가 모두 합해 7마리이고, 다리는 모두 20개입니다. 각각 몇 마리인지 구하는 문제에 학생이 “다리 20을 2로 나누면 닭 10마리다.”라고 답했다면, 계산 자체보다 20이 무엇을 나타내는지부터 살펴볼 필요가 있습니다. 20은 닭의 수가 아니라 닭과 토끼의 다리를 모두 합한 수입니다. 닭 한 마리의 다리는 2개이고 토끼 한 마리의 다리는 4개이므로, 전체 다리 수를 2로 나눈 값이 곧 닭의 마릿수가 될 수는 없습니다. 게다가 닭과 토끼의 수를 합하면 7마리라는 조건도 함께 사용해야 합니다.

어느 조건을 놓쳤는지 확인하는 과정

교사는 처음부터 계산 실수라고 단정하지 않고 “20은 문제에서 무엇을 뜻하지?”, “닭 한 마리와 토끼 한 마리의 다리 수가 같은가?”, “마릿수에 관한 조건은 무엇인가?”라고 차례로 묻습니다. 학생이 이유를 바로 설명하지 못하면 닭 1마리와 토끼 1마리를 놓고 각각 다리가 몇 개인지 함께 적어 봅니다. 이때 학생이 두 종류의 동물에 같은 다리 수를 적용했다면 조건 해석의 어려움이나 개념 적용을 먼저 확인할 수 있습니다. 반대로 두 조건을 알고도 식을 잘못 계산했다면, 식을 세운 단계와 계산 단계를 나누어 다시 살핍니다.

핵심은 두 종류의 미지수에 서로 독립적인 두 조건을 대응시키는 것입니다. 닭의 수를 x, 토끼의 수를 y라고 하면 첫 번째 조건인 전체 마릿수는 x+y=7로 나타납니다. 두 번째 조건인 전체 다리 수는 닭 x마리의 다리 2x개와 토끼 y마리의 다리 4y개를 더한 것이므로 2x+4y=20입니다. 20을 2로 나누어 닭 수를 정하는 대신, 각 종류의 마릿수와 마리당 다리 수를 곱해 전체 다리 수를 표현해야 합니다.

설명 뒤 학생이 다시 세운 풀이

교사가 식의 의미를 한 단계 설명한 뒤, 학생은 처음 답에서 “20을 2로 나누어 닭 수로 정한 판단”을 바꾸어 문제를 다시 풉니다. 먼저 x+y=7에서 전체 마릿수가 7이라는 조건을 반영하고, 2x+4y=20에서 동물 종류별 다리 수를 구분합니다. 첫 번째 식에서 x=7-y이므로 이를 두 번째 식에 대입하면 2(7-y)+4y=20입니다. 정리하면 14+2y=20, 2y=6이므로 y=3입니다. 따라서 x=7-3=4이고, 닭은 4마리, 토끼는 3마리입니다. 학생이 대입 과정에서 막히면 교사가 해당 한 단계까지 함께 쓰고, 그다음 식의 계산과 답의 의미는 학생이 이어서 확인하도록 도움을 조절할 수 있습니다.

조건에 대입해 확인하고 새 문제에 적용하기

구한 값이 원래 조건에 맞는지 다리 수에 대입해 확인하면 닭 4마리는 2×4=8개, 토끼 3마리는 4×3=12개이므로 8+12=20개입니다. 마릿수도 4+3=7마리로 맞습니다. 이후 수정 풀이와 정답을 가린 상태에서 학생이 문제의 조건만 보고 다시 시작하는지, 다리 수를 종류별로 구분해 설명하는지를 확인합니다. 혼자 풀지 못한다면 개념에서 막힌 것인지 계산에서 막힌 것인지 살펴보고 필요한 부분만 다시 돕습니다.

새 적용 문제는 닭과 토끼가 합해 9마리이고 다리가 26개일 때 각각 몇 마리인지 구하는 것입니다. 이전 문제와 전체 마릿수와 다리 수가 바뀌었지만, 닭 한 마리당 2개, 토끼 한 마리당 4개라는 조건은 같으므로 같은 방식으로 식을 세울 수 있습니다. 닭 5마리와 토끼 4마리라면 5+4=9이고, 2×5+4×4=10+16=26이므로 두 조건을 모두 만족합니다. 필요할 때는 “세 마리의 다리를 3×2로 고정할 수 있는가?”를 비교해 볼 수 있습니다. 닭 세 마리라면 6개지만 닭 한 마리와 토끼 두 마리라면 10개이므로, 마릿수만 세지 않고 종류별 다리 수를 적용해야 한다는 차이를 다시 확인할 수 있습니다.