불당동 중등수학과외

나누는 조건에서 시작한 72의 완전제곱수 문제

수업은 조건을 바꾼 문제에서 시작했다. 학생에게 “72를 자연수 n으로 나눈 몫이 자연수이면서 완전제곱수가 되게 하려 한다. 가장 작은 n은 무엇일까?”라고 제시하자 학생은 잠시 72의 약수를 적은 뒤 n=2를 골랐다. 실제로 72÷2=36이고, 36=6²이므로 이 문제의 답은 n=2이다. 다만 학생은 몫이 자연수가 되는지와 완전제곱수인지 두 조건을 모두 확인해 말하지는 않았다. 불당동중등수학과외 수업에서는 정답을 바로 평가하기보다, 학생이 어떤 조건을 근거로 n=2를 선택했는지 식으로 남기게 한다.

교사는 “72÷2의 몫은 제곱수인가?”, “n=1이면 어떤가?”라고 짧게 물었다. 학생은 36은 6×6이라고 답했고, 72는 8×8과 9×9 사이에 있으므로 제곱수가 아니라고 덧붙였다. 이 장면에서 학생이 2를 대입해 결과를 확인하는 행동은 맞게 처리한 부분이다. 그러나 가장 작은 자연수인지 확인하려면 n=1도 따로 살펴야 한다는 점이 아직 풀이에 드러나지 않았다. 교사는 이 두 판단을 구분해 표시했다. 나누어 자연수가 되는 것과 그 몫이 완전제곱수가 되는 것은 각각 확인해야 하기 때문이다.

곱하는 문제에서 처음 달라진 판단 찾기

이제 조건을 원래 문항으로 바꾸었다. “72에 자연수 n을 곱해 완전제곱수를 만들려 할 때, 가장 작은 n과 그때의 제곱수를 구하라”는 문제를 다시 제시하자 학생은 n=8을 쓰고, 72×8=576=24²라고 계산했다. 계산 자체는 맞고 576이 완전제곱수라는 확인도 정확하다. 하지만 8이 가장 작은 수인지는 확인하지 않았다. 가능한 수 하나를 찾은 뒤 곧바로 최소라고 단정한 것이 오답의 첫 판단이다.

교사는 “n=2를 대입해도 제곱수가 되는가? 된다면 최소 여부를 따로 확인해야 할까?”라고 물었다. 학생은 72×2를 계산해 144라고 적었고, 144=12×12이므로 n=2도 조건을 만족한다고 설명했다. 이 답변과 처음 작성한 풀이를 나란히 놓자, 학생이 제곱수 여부는 확인할 수 있지만 더 작은 자연수와 비교하는 단계는 생략했다는 점이 분명해졌다. 오답 하나만으로 계산을 전혀 모른다고 판단하지 않고, 질문에 대한 설명과 실제 풀이에서 달라진 지점까지만 원인 후보로 좁혔다.

교사는 풀이를 대신 완성하지 않고 72의 소인수분해만 한 단계 시범으로 보였다. 72=2³×3²이다. 완전제곱수가 되려면 소인수의 지수가 모두 짝수여야 하므로, 홀수 지수인 2³에는 2를 한 번 더 곱해 2⁴로 만들면 된다. 설명은 “홀수 지수 3은 1만 늘려도 짝수가 된다”에서 멈추고, 필요한 인수와 최소 확인은 학생이 직접 이어 쓰게 했다.

필요한 인수만 추가하고 n=1을 대조하기

학생은 지수 표시를 보고 2를 더 곱해야 한다고 판단한 뒤, 72×2=2³×3²×2=2⁴×3²=144=12²라고 다시 작성했다. 처음에는 8을 곱해 576을 만든 뒤 멈췄지만, 수정 풀이에서는 홀수 지수 하나만 짝수로 바꾸는 데 필요한 인수만 선택했다. 이어 n=1도 확인해야 한다고 말하며 72가 제곱수인지 대조했다. 8²=64, 9²=81이므로 64<72<81이고, n=1에서는 완전제곱수가 되지 않는다. 따라서 가장 작은 n은 2, 그때의 제곱수는 144이다.

검산은 소인수분해를 그대로 반복하지 않도록 곱셈과 제곱수 사이의 관계로 진행했다. 학생은 72에 2를 곱한 결과가 144인지 계산하고, 12×12를 직접 확인해 두 값이 일치한다고 설명했다. 이어 1을 곱한 경우에는 72가 64와 81 사이에 있다는 점을 사용해 최소 조건을 검토했다. 교사는 정답만 맞힌 것이 아니라, 필요한 인수만 추가한 이유와 더 작은 자연수 1을 제외한 근거를 학생의 말과 식에서 확인했다.

나누어 지수를 줄이는 조건에 적용하기

처음 제시한 나누기 문제로 돌아오면 조건의 방향은 달라진다. 곱하기에서는 홀수 지수 3을 4로 늘렸지만, 나누기에서는 몫이 자연수가 되도록 2를 한 번 나누어 지수를 2로 줄일 수 있다. 학생은 72=2³×3²에서 2로 나누면 2²×3²=36=6²라고 적었다. 72÷2=36이므로 몫은 자연수이고 완전제곱수이다. n=1에서는 72 자체가 제곱수가 아니므로 이때도 가장 작은 n은 2이다.

다음 문제에서는 72에 필요한 인수를 곱하는 조건과 72를 자연수로 나누는 조건을 연달아 섞지 않고, 학생이 먼저 “지수를 늘리는가, 줄이는가”를 표시하게 한다. 도움 없이 필요한 인수만 선택하고 n=1을 대조한 뒤, 몫 또는 곱이 자연수이면서 완전제곱수인지 식으로 설명하게 한다. 교사는 학생이 정답 2만 적는지, 2³의 홀수 지수와 1을 확인한 근거까지 독립적으로 남기는지를 확인한다.