불당동 고등수학과외

계산이 멈춘 지점은 복잡한 전개가 아니라 “오른쪽 두 근호는 각각 실수로 정의되는가?”라는 질문이었다. 공통수학2의 무리식과 무리함수에서는 식을 변형하는 기술만큼 정의역과 성립 조건을 먼저 확인하는 습관이 중요하다. 배움노트 고등수학 수업에서는 답을 곧바로 고치기보다, 어떤 조건을 적용했는지 학생의 설명을 들으며 개념 이해와 조건 적용을 나누어 살핀다.

곱이 0 이상이라는 조건만으로 범위를 정하지 않기

다음과 같은 문제를 생각해 보자. 실수 x에 대해 √((x−1)(x+1))와 √(x−1)√(x+1)이 둘 다 정의되고 같은 x에서 서로 같을 때, x의 범위를 구하는 문제다. 이렇게 답했다면 오답의 출발점은 확인할 수 있다. 왼쪽 근호 안의 곱이 0 이상이어야 하므로 (x−1)(x+1)≥0에서 x≤−1 또는 x≥1을 얻은 것이다. 그러나 이 조건은 왼쪽 식 하나의 정의 조건일 뿐, 오른쪽 식까지 정의된다는 뜻은 아니다.

여기서 “오른쪽 두 근호는 각각 실수로 정의되는가?”라고 묻는다. √(x−1)와 √(x+1)이 모두 실수이려면 x−1≥0, x+1≥0을 동시에 만족해야 한다. 따라서 오른쪽의 공통 조건은 x≥1이다. 제곱을 이용해 후보를 얻었다면 그 결과를 바로 정답으로 확정하지 않고, 원래 식의 정의 조건과 양변의 부호를 다시 비교해야 한다.

정의 조건을 대조한 뒤 곱셈법칙 적용하기

학생이 직접 조건을 나누어 적으면 풀이가 달라진다. 먼저 왼쪽은 (x−1)(x+1)≥0, 오른쪽은 x−1≥0과 x+1≥0을 각각 요구한다. 세 조건의 공통 범위는 x≥1이다. 이 범위에서는 두 근호가 모두 실수이고 비음수이므로 제곱근의 곱셈법칙이 성립하여 √(x−1)√(x+1)=√((x−1)(x+1))로 쓸 수 있다. 그러므로 정답은 x≥1이다.

x=−2를 대입하면 왼쪽은 √3으로 정의되지만 오른쪽의 √(x−1)=√−3은 실수에서 정의되지 않는다. 이는 x≤−1까지 넓힌 답이 원래 문제의 조건을 만족하지 않는다는 반례다. 단순히 양변을 제곱한 결과만 보는 것이 아니라, 변형 전 식이 실제로 어떤 값을 뜻하는지 확인해야 한다.

표현이 바뀐 식에도 조건을 남겨 다시 적용하기

이제 문제와 조건을 남기되 풀이와 정답을 가린 상태에서 다시 시작한다. 실수에서 각 근호가 정의되어야 한다는 기준을 유지하고, x≥0일 때 √(x+9)=√x+3이 모든 x에서 성립하는지 판단해 보자. 오른쪽을 제곱하면 x+6√x+9가 되어 교차항 6√x가 생긴다. 따라서 원래 등식이 모든 x에서 성립한다는 주장은 거짓이다. 양변이 모두 비음수이므로 제곱 비교를 역으로 적용할 수 있고, 등식이 성립하려면 6√x=0, 즉 x=0이어야 한다. 실제로 x=0에서는 3=3이므로 성립한다.

첫 문제와 새 문제는 모두 근호의 정의 조건을 확인하지만, 같은 문제의 표현만 바꾼 것이 아니다. 곱의 근호에서는 각각의 근호가 정의되는 공통 범위를 찾았고, 새 문제에서는 근호 밖으로 더해 쓴 식을 제곱해 교차항을 비교했다. 재시도에서는 “각 근호가 실수인가?”, “제곱 뒤 조건을 원식에 넣어 확인했는가?”라는 질문만 남겨 학생이 필요한 식을 처음부터 세우게 한다. 외운 기본 답을 반복한 것인지, 달라진 조건에 근거를 적용한 것인지는 x=−2와 x=0의 대조 과정에서 구별할 수 있다.