테크노벨리 고등수학과외

합의 법칙 문제를 풀고 답안에 “2의 배수 6개와 3의 배수 4개를 더하면 10개”라고 적혀 있다면, 정답보다 먼저 어떤 수가 두 목록에 함께 들어갔는지 확인해야 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 계산식을 바로 고치기보다 문제의 조건과 실제로 센 대상을 맞춰 보게 한다. 1부터 12까지 정수 중 2의 배수 또는 3의 배수인 수를 구하는 상황에서, ‘또는’은 두 조건 중 하나 이상을 만족하는 수를 뜻한다.

더하기 전에 두 목록의 공통 원소 표시하기

2의 배수는 2, 4, 6, 8, 10, 12로 6개이고, 3의 배수는 3, 6, 9, 12로 4개이다. 여기서 두 목록을 단순히 더하면 같은 대상을 두 번 포함할 수 있다. 이렇게 답했다면 “6과 12는 몇 번 세어졌는가?”라고 묻고, 학생이 두 목록에서 해당 수에 직접 표시하게 한다. 6은 2의 배수 목록과 3의 배수 목록에 모두 있고, 12도 두 목록에 모두 있다. 따라서 문제의 핵심은 선택 결과에 순서가 있는지를 따지는 데 있지 않고, 서로 다른 수를 빠짐없이 한 번씩 세었는지 확인하는 데 있다.

교사는 공통 원소 {6, 12}만 표시한 뒤 남은 계산을 학생이 완성하도록 한다. 이때 “또는”을 “둘 다”로 바꾸어 읽거나, 범위 밖의 배수를 섞지 않았는지도 함께 확인한다. 조건을 만족하는 전체 대상을 세려면 두 목록의 개수를 합한 뒤, 중복으로 포함된 공통 원소의 개수를 한 번 빼야 한다. 학생은 6+4−2=8이라고 수정하고, 실제 목록을 만들어 식과 대조한다. 직접 적은 목록은 {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}이며 모두 1부터 12까지의 정수이고, 각 수가 2의 배수 또는 3의 배수라는 조건을 만족한다.

수정한 원리를 다른 조건에 옮겨 보기

같은 범위에서 “2의 배수이면서 3의 배수인 수의 개수”를 묻는다면 표현이 달라진다. 이번에는 둘 중 하나만 만족하면 되는 것이 아니라 두 조건을 동시에 만족해야 하므로, 두 목록을 합치는 것이 아니라 공통 부분만 찾는다. 2와 3의 공배수는 6의 배수이고, 1부터 12까지에서는 6과 12뿐이다. 따라서 답은 2개이다. 2는 3의 배수가 아니므로 제외하고, 6과 12는 두 조건을 모두 만족하는지 각각 표시해 확인한다.

이 과정에서 ‘또는’과 ‘이면서’를 기호처럼 외우는 데 그치지 않고, 실제로 어떤 대상을 포함하는지 목록으로 확인한다. 표현만 바뀐 것인지, 조건 자체가 바뀐 것인지 구별해야 같은 계산을 무리하게 적용하지 않을 수 있다. 첫 문제에서는 공통 원소를 빼야 했지만, 두 번째 문제에서는 공통 원소만 남겨야 한다는 차이가 바로 그 근거다.

풀이를 가린 뒤 근거로 다시 확인하기

다음 점검에서는 문제의 범위와 조건만 남기고 풀이와 정답은 가린다. 학생은 “6과 12는 몇 번 세어졌는가?”라는 질문에 맞는 근거를 고른 뒤, 두 배수 목록을 직접 만들고 공통 원소를 표시한다. 계산식만 기억해 6+4−2를 반복하는 대신, 중복이 실제로 두 개였는지 대조한 다음 수정 풀이를 다시 쓴다. 이어 ‘2의 배수이면서 3의 배수’처럼 조건이 바뀐 문장을 제시해 공통 부분만 세는지 확인한다. 문제, 범위, 필수 조건이 남아 있으면 풀이와 유도 표시 없이도 같은 판단을 재현할 수 있고, 답이 맞는지 목록과 조건을 함께 검산할 수 있다.