파동 수학과외

대표 문제와 ‘작은 수’라는 오답

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “18과 24의 최대공약수를 구하라.”는 문제를 보고 학생이 “작은 수인 18이다.”라고 답했습니다. 18과 24 중 작은 수를 고르는 것만으로는 최대공약수를 구할 수 없습니다. 최대공약수는 두 수를 모두 나누어떨어지게 하는 약수 중 가장 큰 수이기 때문입니다. 따라서 먼저 구해야 할 값은 작은 수가 아니라 18과 24의 공약수입니다.

어떤 판단에서 어긋났는지 확인하기

교사는 곧바로 오답의 원인을 하나로 단정하지 않고 “18은 24를 나누어떨어지게 할까?”, “18을 24로 나누었을 때 나머지가 0일까?”라고 묻습니다. 24를 18로 나누면 몫이 1이고 나머지가 6이므로 18은 24의 약수가 아닙니다. 이 확인으로 학생이 ‘최대’라는 말을 단순히 두 수 중 큰 쪽이나 작은 쪽을 고르는 뜻으로 이해했는지, 아니면 나눗셈의 조건을 놓쳤는지를 살펴볼 수 있습니다. 학생이 개념을 말로 설명하기 어렵다면 교사가 18을 1, 2, 3, 6, 9, 18로 나누어떨어지게 하는 수라고 짚고, 그중 24도 나누어떨어지게 하는 수를 다시 찾아 보게 합니다. 처음 답 하나만으로 계산 실수인지 개념 이해의 어려움인지 확정하지 않고, 달라진 식과 조건을 함께 확인하는 과정입니다.

공약수의 조건을 이용한 수정 풀이

교사는 “최대공약수는 두 수에 공통으로 들어 있는 약수 중 가장 큰 수”라고 설명한 뒤, 18과 24를 소인수의 곱으로 나타냅니다. 18=2×3², 24=2³×3입니다. 두 수에 공통으로 들어 있는 소인수는 2와 3이고, 각각 공통으로 사용할 수 있는 횟수는 2 한 번, 3 한 번입니다. 그러므로 최대공약수는 2×3=6입니다. 학생이 한 번에 모든 과정을 이어 가기 어렵다면 교사가 소인수분해 한 줄을 함께 확인하고, 학생이 공통인 소인수를 고른 뒤 곱셈을 이어서 하도록 도움을 조절합니다.

이제 처음의 “작은 수인 18”이라는 판단에서, ‘작은 수를 고른다’는 기준을 ‘두 수를 모두 나누어떨어지게 하는 약수 중 가장 큰 것을 찾는다’는 기준으로 바꾸어 다시 풉니다. 학생은 18과 24의 공통 약수 후보를 살피고, 1, 2, 3, 6 중 가장 큰 수가 6임을 답으로 적습니다. 답만 표시하는 데서 끝내지 않고, “18과 24를 모두 나누어떨어지게 하면서 가장 큰 수라서 6이다”라고 문제의 조건과 연결해 결론을 확인합니다.

검산과 새 조건에서의 다음 확인

검산은 풀이를 그대로 반복하는 대신 답 6을 원래 수에 대입해 확인합니다. 18÷6=3, 24÷6=4로 두 나눗셈의 나머지가 모두 0이므로 6은 공약수입니다. 또 소인수분해에서 공통으로 사용할 수 있는 인수가 2와 3뿐이므로 6보다 큰 공약수는 없습니다. 수정 풀이와 정답을 가린 뒤 학생이 같은 문제를 처음부터 다시 해결하게 하고, 혼자 막히면 개념 설명이 필요한지 계산 단계에서 막혔는지에 따라 도움을 조정합니다. 다른 풀이를 사용하더라도 두 수를 모두 나누어떨어지게 하는 가장 큰 수라는 조건과 계산이 맞으면 인정합니다.

새 적용 문제로 “18과 30의 최대공약수는 작은 수 18인가?”를 제시합니다. 이번에는 18이 30의 약수가 아니므로 작은 수라는 이유만으로 답할 수 없습니다. 두 수의 공약수는 1, 2, 3, 6이고 그중 가장 큰 수는 6이므로 최대공약수는 6입니다. 이어서 필요할 때 “최소공배수는 언제나 두 수의 곱이다”라는 설명도 비교해 볼 수 있습니다. 6과 9의 최대공약수는 3, 최소공배수는 18이며, 두 수의 곱 54를 최대공약수 3으로 나눈 값입니다. 학생이 새 문제에서 조건을 먼저 찾고, 이전 풀이와 답을 가린 상태에서도 공약수의 의미와 답의 근거를 다시 설명하는지를 다음 확인 기준으로 삼습니다.