범물동 수학과외

대표 문제에서 빠진 곱셈

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. A=[[1,2],[0,1]], B=[[2,0],[3,1]]일 때 AB의 1행 1열 성분을 구하는 문제입니다. 처음 답을 “1×2=2다.”라고 썼다면, 1행의 첫 수와 1열의 첫 수만 곱하고 끝낸 셈입니다. 그러나 행렬 곱의 한 성분은 같은 위치의 수 하나를 곱하는 것이 아니라, 앞 행렬의 해당 행과 뒤 행렬의 해당 열을 대응시켜 얻은 곱을 모두 더해 구합니다. 따라서 AB의 1행 1열 성분은 A의 첫 행 [1,2]와 B의 첫 열 [2,3]을 연결해야 합니다.

이때 문제에서 요구한 값은 중간 곱인 1×2가 아니라 두 곱의 합입니다. 첫 번째 곱은 A의 첫 행 첫 수 1과 B의 첫 열 첫 수 2를 대응시킨 1×2=2이고, 두 번째 곱은 A의 첫 행 둘째 수 2와 B의 첫 열 둘째 수 3을 대응시킨 2×3=6입니다. 그러므로 1행 1열 성분은 1×2+2×3=2+6=8입니다.

어떤 판단에서 어긋났는지 확인하기

교사는 처음 답만 보고 계산 실수나 개념 오해 중 하나라고 단정하지 않습니다. 먼저 “1×2만 계산한 이유는 무엇인가요?”라고 묻고, A에서 어느 행을 보고 B에서 어느 열을 사용했는지 말이나 표시로 확인합니다. 학생이 행과 열의 위치는 설명하지만 두 번째 곱을 빠뜨렸다면, 개념 전체보다 식을 세우는 과정에서 연결되는 항을 끝까지 확인하는 데 어려움이 있었을 수 있습니다. 반대로 행과 열의 뜻을 서로 바꾸어 말한다면 행렬 곱에서 앞 행렬의 행과 뒤 행렬의 열을 짝짓는 개념부터 다시 다룹니다.

학생이 이유를 바로 설명하지 못해도 교사가 한 단계씩 함께 살필 수 있습니다. A의 첫 행 [1,2]를 짚은 뒤 “이 행의 두 수는 B의 첫 열에서 어떤 수들과 각각 만나야 할까요?”라고 묻습니다. B의 첫 열이 [2,3]이라는 것을 확인하면, 첫 번째 수끼리 1×2, 둘째 수끼리 2×3을 적게 하고 두 결과를 더해야 하는 이유를 연결합니다. 이 문제에서 행과 열의 순서를 유지하는 것이 핵심이며, 모든 행렬 계산에서 임의로 같은 자리의 수만 곱해도 된다는 뜻은 아닙니다.

설명 뒤 다시 구성하는 풀이

필요한 부분을 함께 정리한 뒤에는 대표 문제의 조건과 숫자는 보이게 두고, 처음 풀이와 정답은 가린 상태에서 학생이 다시 시작하도록 합니다. 학생은 먼저 AB의 1행 1열이라는 요구를 보고 A의 1행과 B의 1열을 선택합니다. 이어 A의 첫 행 [1,2]와 B의 첫 열 [2,3]을 대응시켜 1×2+2×3이라는 식을 세웁니다. 첫 답에서 바꾼 판단은 1×2를 최종 답으로 멈추지 않고, 같은 행과 열에서 이어지는 두 번째 곱 2×3까지 포함한 점입니다.

학생이 첫 곱까지만 적고 멈추면 교사는 두 번째 위치를 직접 짚어 짧게 2×3을 보여 준 뒤, 그 결과를 앞의 1×2와 어떻게 합칠지는 다시 시도하게 합니다. 학생은 1×2=2, 2×3=6을 계산하고 2+6=8을 얻습니다. 이렇게 하면 각 숫자가 어느 행과 열에서 왔는지, 왜 더하기가 필요한지까지 문제 조건과 연결해 설명할 수 있습니다. 다른 방식으로 계산했더라도 A의 첫 행과 B의 첫 열을 사용하고 결과가 8이라면 조건과 논리가 맞는 풀이로 볼 수 있습니다.

검산과 새 조건에 적용하기

검산에서는 같은 식을 단순히 반복하기보다 대응 관계를 다시 확인합니다. B의 첫 열 [2,3]을 A의 첫 행 [1,2]와 나란히 놓으면 1은 2와, 2는 3과 만나므로 두 곱은 각각 2와 6입니다. 두 값의 합이 8이 되어 원래 계산과 일치합니다. 풀이 순서를 따라 적는 데는 성공했지만 가린 뒤 다시 시작하지 못한다면, 개념 설명이 더 필요한지 계산 단계에서 막힌 것인지 나누어 보고 다음 도움의 정도를 조절합니다.

새 적용 문제로는 같은 A와 B에서 BA의 1행 1열 성분을 구합니다. 이번에는 앞 행렬이 B이므로 B의 첫 행 [2,0]을 사용하고, 뒤 행렬이 A이므로 A의 첫 열 [1,0]을 사용해야 합니다. 따라서 BA의 1행 1열 성분은 2×1+0×0=2입니다. 앞에서 구한 AB의 값 8과 달라진 이유는 행과 열의 선택 순서가 바뀌었기 때문입니다. 학생이 새 문제의 숫자만 따라 쓰지 않고 어느 행렬의 행과 어느 행렬의 열을 선택했는지 먼저 설명하는지를 다음 확인 기준으로 삼습니다.

필요하다면 A=[[0,2]], B=[[3],[4]]에서 AB를 구하는 비교 문제를 선택할 수 있습니다. 이때 A의 한 행과 B의 한 열을 사용하므로 AB=[[0×3+2×4]]=[[8]]입니다. 첫 곱 0×3만 계산하면 두 번째 곱을 빠뜨리게 되므로, 한 성분에 연결된 항을 모두 포함해야 한다는 점을 다시 확인할 수 있습니다. 다음 수업에서는 학생이 대표 문제와 새 적용 문제의 풀이와 정답을 가린 뒤 스스로 식을 구성하고, 선택한 행과 열의 근거를 말하며, 바뀐 조건에서도 같은 방법을 적용하는지를 살펴봅니다.