고모동 수학과외

대표 문제와 ‘각각 3시간’이라는 오답

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 시속 3km로 걷고 시속 6km로 달려, 멈춘 시간 없이 총 18km를 4시간에 이동했습니다. 걷는 시간과 달리는 시간은 각각 얼마일까요? 풀이 중 “각각 3시간이다.”라고 답했다면, 두 시간의 합이 6시간이 되므로 전체 이동 시간 4시간이라는 조건과 맞지 않습니다. 거리도 3×3+6×3=27km가 되어 총 18km와 일치하지 않습니다.

다만 이 답 하나만 보고 계산 실수인지 개념을 잘못 이해했는지 바로 정하지는 않습니다. 교사는 “3시간이라는 수를 어디에서 정했는가?”, “걷는 시간과 달리는 시간을 합치면 몇 시간이 되어야 하는가?”, “속력에 시간을 곱하면 무엇을 구할 수 있는가?”라고 묻습니다. 학생이 답의 이유를 잘 말하지 못해도 문제의 조건을 한 줄씩 함께 확인하며, 시간 조건과 거리 조건이 각각 어떤 식으로 표현되는지 살펴봅니다.

두 미지수에 두 조건을 대응시키는 방법

걷는 시간을 u시간, 달리는 시간을 v시간이라고 두면 u와 v는 서로 다른 두 미지수입니다. 문제에서 멈춘 시간은 없으므로 걷는 시간과 달리는 시간을 더한 값이 전체 시간 4시간입니다. 따라서 첫 번째 조건은 u+v=4입니다.

거리 조건은 시간을 단순히 더하는 방식으로 만들 수 없습니다. 걷는 동안의 거리는 시속 3km에 걷는 시간 u를 곱한 3u이고, 달리는 동안의 거리는 시속 6km에 달리는 시간 v를 곱한 6v입니다. 두 구간의 거리를 더해 전체 이동 거리 18km가 되므로 두 번째 조건은 3u+6v=18입니다. 교사는 먼저 첫 번째 식을 함께 세우고, 학생이 두 번째 식을 직접 만들도록 돕습니다. 필요한 경우 “속력×시간이 거리”라는 한 부분만 설명한 뒤, 각 구간의 거리를 학생이 다시 연결하게 합니다.

두 식을 정리하면 3u+6v=18에서 u+2v=6을 얻습니다. 여기에 u+v=4를 비교하면 v=2이고, 따라서 u=2입니다. 걷는 시간과 달리는 시간은 각각 2시간입니다. 이때 2라는 수는 최종적으로 구한 각 구간의 시간이며, 3u나 6v처럼 특정 구간의 거리를 나타내는 값과 혼동하지 않아야 합니다.

설명 뒤 학생이 다시 구성하는 풀이

이제 처음의 답과 풀이를 가리고, 문제의 조건만 보면서 다시 해결한다고 해 보겠습니다. 학생은 먼저 “걷는 시간과 달리는 시간을 합하면 전체 4시간이므로 u+v=4”라고 적습니다. 이어 “걷는 거리는 3u, 달리는 거리는 6v이므로 합이 18”이라고 판단해 3u+6v=18을 세웁니다.

처음에는 두 시간을 모두 3시간으로 보았지만, 다시 풀 때는 각 구간의 시간을 더한 값이 4가 되어야 한다는 조건으로 판단을 바꿉니다. 두 식에서 u+v=4를 이용해 u=4-v로 바꾸면 3(4-v)+6v=18, 즉 12+3v=18이므로 v=2입니다. 그러면 u=4-2=2입니다. 학생이 식을 세우는 데는 성공했지만 계산에서 막힌다면 계산 과정을 짧게 나누어 확인하고, 식의 의미를 이해하지 못했다면 시간 조건과 거리 조건을 다시 구분해 설명합니다. 다른 풀이를 사용하더라도 두 조건과 계산 결과가 일치하면 같은 답으로 인정할 수 있습니다.

조건에 대입하는 검산과 새 적용

구한 값을 원래 조건에 대입해 확인하면 시간은 2+2=4시간이고, 거리는 3×2+6×2=6+12=18km입니다. 따라서 시간과 거리 조건을 모두 만족합니다. 같은 풀이를 그대로 반복하기보다, 답을 각 조건에 넣어 원래 문제의 요구와 맞는지 확인하는 검산입니다. 이후에는 수정 풀이를 가리고 학생이 문제의 조건만 보고 식을 세우는지, 답을 구한 뒤 두 조건의 근거를 설명하는지를 확인합니다.

새 문제로 시속 3km로 x시간, 시속 5km로 y시간 이동해 총 3시간 동안 11km를 갔다고 해 보겠습니다. 바뀐 것은 전체 시간과 두 번째 속력, 전체 거리이지만, 각 구간의 시간을 더하고 각 속력에 시간을 곱해 거리를 더하는 방법은 이 조건에서 그대로 사용할 수 있습니다. 식은 x+y=3, 3x+5y=11입니다. 첫 번째 식에 3을 곱한 3x+3y=9를 두 번째 식에서 빼면 2y=2이므로 y=1, x=2입니다.

추가로 시간 3시간을 그대로 거리 3km라고 써도 되는지 비교할 수 있습니다. 시속 3km로 2시간, 시속 6km로 1시간 이동하면 시간은 2+1=3시간이지만 거리는 3×2+6×1=12km입니다. 이 비교에서 확인할 핵심은 시간의 합과 거리의 합은 서로 다른 식으로 계산된다는 점입니다. 다음 수업에서는 새 적용 문제를 정답과 풀이를 가린 상태에서 먼저 해결하게 하고, 두 식을 왜 세웠는지와 새 조건에서도 같은 방법을 쓸 수 있는지를 말과 식으로 확인합니다.