매호동 수학과외

12와 18의 소인수 종류가 같아도 같은 수일까

다음 문제에서 학생이 “12와 18은 둘 다 2와 3으로 만들어지므로 같다”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 두 수를 소인수분해하면 12=2²×3, 18=2×3²입니다. 두 수에 사용된 소인수의 종류는 모두 2와 3이지만, 문제에서 비교해야 할 것은 종류만이 아니라 각 소인수가 몇 번 곱해졌는지를 포함한 전체 곱입니다. 따라서 12와 18은 서로 다른 수입니다.

이 오답에서 바로 계산 실수라고 단정하지 않고, 교사는 먼저 “2와 3이 들어 있다는 사실만 같으면 왜 두 수 전체도 같다고 생각했을까?”라고 묻습니다. 학생이 “소인수의 종류가 같다”는 개념은 말할 수 있지만 지수가 뜻하는 내용을 설명하지 못한다면 개념 이해를 먼저 확인해야 합니다. 반대로 지수의 의미를 알고도 2²와 2, 3과 3²를 같은 것으로 적었다면 처음 세운 식이나 조건을 해석한 과정을 다시 살펴봅니다.

소인수의 종류와 지수를 나누어 비교하기

교사는 12를 2로 나누고 다시 2로 나눈 뒤 3이 남는 과정을 함께 확인합니다. 그래서 12는 2가 두 번, 3이 한 번 곱해진 수이며 12=2²×3으로 나타냅니다. 이어서 18은 2로 한 번 나누어 9가 되고, 9는 3을 두 번 곱한 수이므로 18=2×3²이라고 설명합니다. 여기서 소인수의 종류는 두 수 모두 2와 3으로 같지만, 2의 지수와 3의 지수가 서로 바뀌어 있습니다.

학생이 설명을 한 번에 이해하기 어려우면 교사는 먼저 12의 분해만 직접 보여 주고, 18에서는 “2는 몇 번 곱해졌고, 3은 몇 번 곱해졌는가?”를 차례로 확인하게 합니다. 학생은 처음의 “둘 다 2와 3으로 만들어지므로 같다”라는 판단을 “종류가 같은지와 지수가 같은지를 모두 비교해야 한다”로 고칩니다. 이후 12=2²×3, 18=2×3²를 나란히 적고 지수가 다르므로 두 수가 같지 않다는 결론을 직접 완성합니다.

수정한 결론을 조건에 대입해 확인하기

학생이 풀이 순서를 따라 적은 것인지 확인하려면 교사는 수정 풀이와 정답을 가린 뒤 같은 문제를 다시 제시합니다. 학생은 먼저 두 수를 소인수분해하고, 소인수의 종류뿐 아니라 지수까지 비교해야 한다는 판단을 다시 적용합니다. 두 수의 관계를 다른 방식으로 확인하면 18÷12=3/2이므로 몫이 1이 아닙니다. 따라서 18과 12는 같은 수가 아니라는 결론이 소인수분해 결과와도 일치합니다. 이 과정에서 막히면 개념 설명이 더 필요한지, 소인수분해 계산에서 어려움을 겪는지에 따라 도움의 정도를 조절합니다.

새 조건에서 같은 판단을 적용해 보기

다음에는 768과 1536의 소인수분해를 비교해 보겠습니다. 768=2⁸×3, 1536=2⁹×3이므로 두 수의 소인수 종류는 모두 2와 3입니다. 그러나 2의 지수가 각각 8과 9로 다르기 때문에 두 수는 같지 않습니다. 앞의 12와 18에서 확인한 방법을 그대로 사용할 수 있지만, 이번에는 지수의 차이가 더 크게 나타난다는 점이 다릅니다.

다음 수업에서는 학생이 기본 문제와 이 비교 문제에서 소인수분해 결과를 가린 뒤에도 종류와 지수를 구분해 다시 판단하는지 확인합니다. 또한 “소인수의 종류가 같다”는 사실만으로 두 수가 같다고 결론 내리지 않고, 실제 식의 지수와 곱 전체를 근거로 설명하는지를 살펴보며 이후 문제의 난도를 조정합니다.