가천동 수학과외

꼭짓점의 y값만 보고 답을 정할 수 없는 이유

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 1≤x≤3에서 y=x²의 최솟값은? 학생은 꼭짓점이 (0, 0)이므로 “꼭짓점의 y값 0이다”라고 답했습니다. 식 y=x²의 꼭짓점 자체는 (0, 0)이 맞지만, 이 문제에서 x는 1 이상 3 이하인 값만 사용할 수 있습니다. 따라서 x=0은 주어진 정의역에 포함되지 않으며, 꼭짓점에서의 함수값을 그대로 최솟값으로 정할 수 없습니다.

이때 틀린 답만 보고 계산 실수라고 단정하지 않습니다. 학생이 꼭짓점의 좌표를 잘못 기억한 것인지, 꼭짓점은 알고 있지만 구간 조건을 풀이에 반영하지 않은 것인지 먼저 나누어 살핍니다. 교사는 “꼭짓점의 x좌표 0이 문제에서 허용된 값인가?”라고 묻고, 학생이 바로 답하기 어렵다면 문제의 조건에서 x가 가질 수 있는 범위를 함께 찾아봅니다. 개념은 설명할 수 있지만 결과가 틀렸다면, 꼭짓점과 정의역을 연결한 첫 판단에서 무엇이 달라졌는지 확인합니다.

구간에 꼭짓점이 있는지 먼저 확인하기

이차함수의 최솟값을 구할 때는 꼭짓점의 함수값을 먼저 쓰는 것이 아니라, 꼭짓점의 입력값이 정해진 구간에 속하는지 확인해야 합니다. y=x²의 꼭짓점의 x좌표는 0이고 꼭짓점의 y값은 0입니다. 그러나 문제의 조건은 1≤x≤3이므로 x=0을 대입할 수 없습니다.

꼭짓점이 허용된 구간 밖에 있다면 그다음에는 구간 안에서 가능한 값을 살펴봐야 합니다. 이 문제에서는 양수인 x만 허용되므로 x가 커질수록 x²도 커집니다. 따라서 가장 작은 x인 1에서 최솟값이 나옵니다. 끝점에서 직접 확인하면 x=1일 때 y=1²=1이고, x=3일 때 y=3²=9입니다. 그러므로 구간 안의 최솟값은 1입니다.

교사의 설명 뒤 학생이 다시 풀이하기

교사는 학생에게 처음 답을 지우라고 하기보다, 문제의 수치와 조건은 보이게 둔 채 이전 풀이와 정답 부분을 가리고 다시 시작하게 합니다. 먼저 “꼭짓점의 x좌표 0이 1≤x≤3을 만족하는가?”를 확인하게 하고, 0은 허용되지 않는다는 판단을 함께 정리합니다. 학생이 이 부분에서 막히면 교사가 “구간의 왼쪽 끝과 오른쪽 끝은 각각 어떤 값인가?”를 짚어 주고, 끝점에 식을 대입하는 과정은 학생이 이어서 시도하도록 돕습니다.

학생은 수정한 풀이에서 꼭짓점 (0, 0)을 찾은 뒤, x=0은 주어진 구간 밖이므로 사용할 수 없다고 적습니다. 이어서 허용된 끝점 x=1과 x=3을 비교하여 1²=1, 3²=9를 계산하고, “따라서 1≤x≤3에서 y=x²의 최솟값은 1이다”라고 결론을 내립니다. 처음의 0이라는 답에서 바꾼 판단은 꼭짓점의 좌표가 아니라, 그 꼭짓점이 문제의 구간에 포함되는지를 확인한 점입니다.

검산과 새 조건에 적용하기

검산할 때 같은 풀이를 그대로 반복할 필요는 없습니다. 이 문제의 구간에서는 x가 1 이상 3 이하인 양수이므로 x를 제곱한 값은 1 이상 9 이하입니다. 따라서 y=x²가 가질 수 있는 가장 작은 값이 1이라는 결과가 조건과도 맞습니다. 학생이 풀이 순서를 외워서 쓴 것인지 확인하려면 수정 풀이를 가리고 같은 문제를 다시 제시합니다. 꼭짓점이 구간 밖이라는 이유와 끝점 비교의 근거를 말하거나 식으로 다시 나타내는지 살펴보고, 막히는 지점이 개념인지 계산인지에 따라 도움을 조절합니다.

새 문제로 y=(x−4)², 0≤x≤2에서 최솟값은?을 적용할 수 있습니다. 이번 함수의 꼭짓점은 (4, 0)이지만 x=4는 0≤x≤2에 포함되지 않습니다. 구간 안의 x는 4보다 작으므로 x가 4에 가까울수록 (x−4)의 절댓값이 작아집니다. 따라서 가장 가까운 끝점 x=2에서 최솟값을 확인하면 y=(2−4)²=4입니다. 이전 문제와 마찬가지로 꼭짓점이 구간에 들어오는지 먼저 확인하지만, 이번에는 꼭짓점의 오른쪽에 있는 구간에서 4에 가까운 끝점을 찾는다는 점이 다릅니다.

추가로 2≤x≤4에서 y=x²를 비교해 보면 x=0은 여전히 허용되지 않고, 가장 작은 허용값 x=2에서 y=4가 됩니다. 다음 확인에서는 학생이 새 문제의 수치와 조건을 볼 수 있게 하고 이전 풀이와 정답은 가린 뒤, 꼭짓점의 포함 여부와 구간 안에서의 비교 근거를 스스로 다시 구성하는지 살펴봅니다.