시지동 수학과외

대표 문제에서 바뀌어야 할 판단

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “삼각형의 세 내각을 똑같이 나누었으므로 그 교점은 외심이다.” 이 답은 내각의 이등분선과 외심의 정의를 서로 바꾸어 적용한 경우입니다. 대표 문제에서 묻는 것은 세 내각의 이등분선이 만나는 점의 이름이므로, 정답은 내심입니다. 여기서 중요한 것은 단순히 각을 나눈다는 사실이 아니라, 어떤 선들이 만나는지를 확인하는 것입니다.

외심은 세 꼭짓점까지의 거리가 같은 점입니다. 따라서 외심을 찾을 때는 꼭짓점과의 거리를 기준으로 판단합니다. 반면 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이며, 이 점에서 세 변에 내린 수선의 길이가 서로 같습니다. 처음 답에서 “각을 똑같이 나눈다”는 조건은 일부 맞게 읽었지만, 그 조건이 가리키는 중심을 외심으로 연결한 부분이 잘못되었습니다.

오답의 원인을 확인하는 질문

교사는 처음부터 학생의 오답을 단순한 암기 실수라고 단정하지 않고, “외심에서는 무엇까지의 거리가 같다고 했지?”라고 묻습니다. 학생이 “세 꼭짓점까지의 거리”라고 답하는지, “세 변까지의 거리”라고 답하는지를 나누어 확인합니다. 이어 “지금 문제에서 이등분선은 변의 수직이등분선인가, 내각을 나누는 선인가?”라고 질문하면 조건을 잘못 읽었는지 개념을 연결하지 못했는지 살필 수 있습니다.

학생이 바로 설명하지 못하더라도 교사가 한 단계씩 함께 확인합니다. 세 내각을 각각 같은 크기의 두 각으로 나누는 선을 떠올리게 한 뒤, 그 선들이 만나는 점을 내심과 연결해 줍니다. 반대로 변의 수직이등분선은 각을 나누는 선이 아니라, 한 변의 양 끝점에서 같은 거리에 있는 점을 찾는 선이라는 점을 비교합니다. 이렇게 대상이 꼭짓점인지 변인지, 거리를 재는 방식이 무엇인지 구별하면 오답이 나온 지점을 더 정확히 찾을 수 있습니다.

설명 뒤 학생이 다시 푸는 과정

교사는 대표 문제의 핵심 조건인 “세 내각의 이등분선의 교점”을 짚고, 내심이라는 이름이 왜 붙는지 설명합니다. 내심은 삼각형의 내부에서 세 내각을 나누는 선들이 만나는 점이며, 이 점에서 세 변에 내린 수선의 길이는 같습니다. 같은 거리가 세 변에 대해 성립하므로 이 점을 중심으로 세 변에 모두 접하는 원을 생각할 수 있습니다. 이 원을 내접원이라고 부르지만, 문제에서 요구하는 답은 원의 이름이 아니라 그 중심의 이름인 내심입니다.

설명을 들은 학생은 처음 답인 “각을 똑같이 나눠 외심이다”에서, ‘각을 똑같이 나누는 선의 교점’을 외심으로 연결했던 판단을 고칩니다. 문제의 조건을 다시 읽고 “세 내각의 이등분선이 만나는 점이므로 내심이다”라고 답을 완성합니다. 이어 “내심에서는 세 변까지 내린 수선의 길이가 같고, 외심에서는 세 꼭짓점까지의 거리가 같다”라고 말하며 두 중심의 기준을 구분합니다. 학생이 막히면 교사가 정의를 짧게 정리해 준 뒤, 중심의 이름과 그 근거를 학생이 직접 다시 말하도록 합니다.

조건으로 확인하는 검산과 새 적용

이번 문제는 수치 계산이 필요한 문제가 아니므로 같은 문장을 반복해 계산하는 검산은 적절하지 않습니다. 대신 학생이 수정한 답을 가리고 문제의 조건만 다시 보게 한 뒤, “세 내각의 이등분선”이라는 단서를 근거로 중심의 이름을 다시 판단하게 합니다. 또한 내심에서 세 변에 내린 수선의 길이가 같다는 성질을 이용해, 이 점을 중심으로 세 변에 접하는 원을 그릴 수 있다는 조건을 확인합니다. 이는 내심이라는 답이 단순 암기가 아니라 변까지의 거리와 연결되어 있는지 살피는 방법입니다.

새 적용 문제로 “삼각형에서 세 내각의 이등분선이 만나는 점을 찾았다. 이 점은 어떤 중심인가?”를 제시할 수 있습니다. 앞의 문제와 달라진 것은 표현뿐이고 핵심 조건은 같으므로, 학생은 세 내각의 이등분선이라는 단서를 찾아 내심이라고 답해야 합니다. 그 근거는 내심에서 세 변까지의 수직거리가 같다는 점입니다. 이후 학생이 풀이와 정답을 가린 상태에서 이 문제를 다시 해결하고, 답의 근거를 설명하는지 확인합니다. 필요하면 직각삼각형에서 내심과 외심을 비교합니다. 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점에 있지만 내심은 삼각형 내부에 있으므로 두 점은 일반적으로 다릅니다. 다만 정삼각형처럼 특별한 경우에는 내심과 외심이 일치할 수 있으므로, 한 가지 관계를 모든 삼각형에 그대로 확대하지 않는지 다음 확인에서 살펴봅니다.