대구중동 수학과외

대표 문제에서 어긋난 판단

다음 문제에서 학생이 log₂(4+4)와 log₂4+log₂4가 둘 다 4다라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 이 문제에서 먼저 확인할 것은 두 식이 같은 모양인지가 아니라, 각각 무엇을 계산하라고 하는지입니다. 왼쪽 식은 4+4를 먼저 계산한 뒤 그 결과에 로그를 취합니다. 진수가 8이므로 log₂8은 2를 세 번 곱해 8이 되는지를 나타내며, 값은 3입니다. 오른쪽 식은 log₂4를 두 번 더하는 식입니다. 2²=4이므로 각각의 로그값은 2이고, 합은 2+2=4입니다. 따라서 두 식의 값은 각각 3과 4로 다릅니다.

‘둘 다 4’라는 답은 계산 숫자 하나만 잘못 적은 것으로 바로 단정하기 어렵습니다. 4+4를 4×4처럼 바꾸었는지, 로그의 곱셈 성질을 덧셈에도 적용했는지, 아니면 log₂4의 값을 잘못 판단했는지를 풀이 과정에서 구분해야 합니다.

원인을 나누어 확인하는 질문

교사는 먼저 “왼쪽 식에서 로그를 취하기 직전에 진수는 얼마인가요?”라고 묻습니다. 학생이 8이라고 답하면, 이어서 “log₂8은 2를 몇 번 곱해야 8이 되는지를 나타내는데, 2³과 2⁴ 중 어느 것이 맞나요?”라고 확인합니다. 이 과정을 통해 로그의 뜻은 알고 있지만 식을 변형하는 단계에서 혼동했는지 살펴볼 수 있습니다.

학생이 진수의 합을 곱으로 바꾸어 생각했다면 교사는 실제 식을 나란히 비교합니다. 로그에서 성립하는 성질은 양수 a, b에 대해 log₂(ab)=log₂a+log₂b처럼 곱의 로그를 로그의 합으로 바꾸는 것입니다. 이 성질이 log₂(a+b)=log₂a+log₂b를 뜻하지는 않습니다. 학생이 설명하기 어려워하면 교사가 이 차이와 log₂4=2까지 짧게 보여 주고, 이어지는 비교는 학생이 직접 하도록 돕습니다.

설명 후 학생의 수정 풀이

문제의 수치와 조건을 그대로 둔 채 처음 풀이와 정답을 가리고 다시 시작하게 합니다. 학생은 먼저 왼쪽에서 괄호 안의 합을 계산하여 4+4=8이라고 적습니다. 그다음 log₂8=x라고 두면 2^x=8이어야 하므로 x=3이라고 판단합니다. 오른쪽은 log₂4+log₂4로 분리되어 있으므로 각 항을 따로 계산합니다. 2²=4이기 때문에 log₂4=2이고, 오른쪽 값은 2+2=4입니다.

이때 학생이 바꾸어야 할 판단은 ‘로그가 두 개 더해졌으니 안쪽 수도 곱해진다’는 생각입니다. 실제로는 왼쪽의 진수가 4+4인 합이고, 오른쪽은 log₂4를 두 번 더한 식이므로 같은 연산이 아닙니다. 학생은 마지막에 왼쪽은 3, 오른쪽은 4라고 답하고, 합에는 곱의 로그 성질을 적용할 수 없다고 문제 조건과 연결해 설명합니다. 중간 계산에서 막히면 교사가 2³=8을 함께 확인한 뒤 오른쪽의 계산을 학생이 이어서 완성하게 합니다.

검산과 다음 적용 확인

수정한 결과는 지수 표현으로 검산할 수 있습니다. 왼쪽의 답 3은 2³=8과 연결되고, 오른쪽의 답 4는 2⁴=16=4×4와 연결됩니다. 따라서 두 값이 같지 않다는 결론은 원래 식의 진수와 각각의 계산 결과에 맞습니다. 학생이 풀이 순서를 외워 적은 것인지 확인하려면 수정 풀이를 다시 가리고, 문제만 보이는 상태에서 같은 비교를 처음부터 해결하게 합니다. 혼자 시작하지 못하면 개념이 필요한지, 4+4를 계산하는 단계에서 막혔는지에 따라 도움의 양을 조절합니다.

다음 적용 확인에서는 log₂(4+4)가 log₂4+log₂4와 같은지 다시 판단하게 합니다. 수치와 조건을 확인한 뒤 왼쪽은 3, 오른쪽은 4라고 구하고, 합의 로그를 로그의 합으로 바꿀 수 없다는 근거를 말하게 합니다. 비교가 더 필요할 때는 log₂(512+512)와 log₂512+log₂512를 선택 자료로 사용할 수 있습니다. 앞은 log₂1024=10이고 뒤는 9+9=18이므로, 큰 수에서도 같은 변환이 성립하지 않음을 확인할 수 있습니다. 다음 수업에서는 학생이 풀이와 답을 가린 뒤 새 조건에 적용하고, 각 식의 값과 근거를 스스로 설명하는지를 확인합니다.