가천동 고등수학과외

수정 풀이를 먼저 보면 $a=2$, 접점은 $(2,4)$, $y-4=4(x-2)$, 따라서 $y=4x-4$이다. 이 결과는 기울기와 접점의 좌표를 각각 확인한 뒤 얻어진다. $y=x^2$에서 기울기가 4인 접선을 구할 때 이렇게 답했다면, 처음 판단이 어디에서 달라졌는지 거슬러 살펴볼 필요가 있다.

기울기 4를 접점 좌표로 바꾼 오답 확인

예를 들어 기울기 4를 그대로 입력해 접점을 $(4,16)$이라고 했다면, 이 점은 $y=x^2$ 위의 점이라는 사실만 맞고 접선의 기울기가 4라는 조건은 만족하지 않는다. 실제로 $f'(x)=2x$이므로 $x=4$에서의 접선 기울기는 8이다. 따라서 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고, “$f'(a)=4$라는 식은 무엇을 뜻하는가?”라고 확인한다. 이 식이 접점의 x좌표를 찾는 조건인지, 접점 자체의 좌표인지 학생이 말하게 한다. 또한 접선이 지나야 할 점을 별도로 제시한 문제인지, 지금처럼 기울기만 주어진 문제인지 조건에 표시하게 한다.

접점의 x좌표부터 정하고 식을 세우기

접선은 한 정보만으로 정해지지 않는다. 접점의 x좌표를 $a$라 두면 접점은 $(a,f(a))=(a,a^2)$이고, 그곳에서의 기울기는 $f'(a)=2a$이다. 주어진 기울기가 4이므로 $2a=4$를 세워 $a=2$를 구한다. 이에 따라 접점은 $(2,4)$가 된다. 이제 점기울기식 $y-f(a)=f'(a)(x-a)$에 값을 넣어 $y-4=4(x-2)$, 즉 $y=4x-4$를 얻는다. 학생이 직접 이 등식을 작성하고, 전개 과정에서 절편을 빠뜨리지 않았는지 확인하게 한다.

대입 검산과 조건을 남긴 재적용

구한 직선이 실제 접선인지 확인하려면 두 식을 연립한다. $x^2=4x-4$에서 $x^2-4x+4=(x-2)^2=0$이므로 교점은 $x=2$ 하나로 겹친다. 접점 $(2,4)$를 직선에 대입해 실제로 지나는지도 확인한다. 이후 문제의 식, 기울기 조건, 필요한 정의를 남기고 풀이와 정답 및 유도 표시는 가린 상태에서 다시 시작한다. 같은 문제의 숫자나 표현만 바꾼 것과 조건 자체가 달라진 문제를 구별해야 한다. 예를 들어 $y=x^3-3x$에서 기울기가 0인 모든 접선을 구하면 $f'(x)=3x^2-3=0$에서 $x=\pm1$을 얻는다. $f(-1)=2$, $f(1)=-2$이므로 수평 접선은 $y=2$, $y=-2$이다. 두 후보를 모두 남겨야 하며, 각 접점에서 도함수가 0이고 직선의 높이가 함수값과 일치하는지 대조한다. 기본 문제를 다시 푼 뒤에는 답을 외운 것인지 확인하도록 이처럼 접점 후보가 하나인지 여러 개인지 판단하는 조건을 포함해 해결한다.