부전동 고등수학과외

분모가 0이라는 답에서 멈추지 않기

연속과 사잇값 정리를 공부할 때는 정답인 a=4보다 그 값을 정하는 근거를 설명하는 과정이 중요하다. 다음과 같은 문제를 보자. f(x)=(x²−4)/(x−2) (x≠2), f(2)=a일 때, x=2에서 연속이 되도록 하는 실수 a를 구하는 문제다. 이렇게 답했다면 어떤 부분을 다시 확인해야 할까? “x=2를 대입하면 분모가 0이므로 어떤 a도 불가능하다.” 이 답은 x=2에서 식을 그대로 대입할 수 없다는 사실만 확인했을 뿐, 한 점에서 연속이 되기 위한 조건까지 살핀 것은 아니다.

배움노트 고등수학 수업에서는 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고 먼저 확인 질문을 던진다. 한 점에서 연속이 되려면 그 점에서 함숫값이 존재해야 하고, 해당 점으로 다가갈 때의 극한이 존재하며, 두 값이 서로 같아야 한다. 따라서 “x≠2인 식의 극한은 존재하는가?”라고 묻고, 학생이 분모의 금지 입력과 주변에서의 함수값을 구별해 직접 표시하게 한다. 이 문제에서 x=2는 원래 식에 넣을 수 없는 값이지만, 그 사실만으로 극한의 존재 여부가 결정되지는 않는다.

약분 뒤 남는 식과 연속 조건 비교하기

x≠2일 때 x²−4=(x−2)(x+2)이므로 f(x)=x+2로 정리된다. 교사는 여기서 모든 계산을 대신하지 않고, “x가 2에 가까워질 때 x+2는 어떤 값에 가까워지는가?”라는 첫 비교까지만 제시한다. 학생은 좌우에서 같은 식을 사용한다는 점을 확인한 뒤 lim x→2 f(x)=4를 스스로 적는다. 이제 연속 조건은 lim x→2 f(x)=f(2)이고, f(2)=a이므로 a=4가 되어야 한다.

학생이 수정한 풀이는 다음과 같이 간단히 완성된다. x≠2에서 f(x)=x+2이므로 lim x→2 f(x)=4이다. x=2에서 연속이 되려면 f(2)=a=4여야 하므로 a=4이다. 이때 원래 그래프의 빠진 점은 (2,4)이며, 그 점을 채우면 전체가 직선 y=x+2와 일치한다. 따라서 단순히 분모가 0이라는 이유로 불가능하다고 결론 내릴 수 없고, 정의되지 않은 한 점을 어떤 값으로 채울 수 있는지를 극한과 함숫값의 일치로 판단해야 한다.

한 점 채우기와 좌우가 다른 끊김 구별하기

같은 연속 조건을 유지하되 끊김의 형태가 달라지는 경우도 비교해야 한다. f(x)=0 (x<0), f(0)=a, f(x)=1 (x>0)일 때 x=0에서 연속이 되도록 하는 실수 a가 있는지 생각해 보자. 먼저 문제와 조건만 남기고 풀이와 정답을 가린 상태에서 학생이 좌극한과 우극한을 각각 계산한다. 좌극한은 0, 우극한은 1이므로 양쪽 극한이 서로 다르다. 따라서 x=0에서 극한 자체가 존재하지 않아 어떤 a를 정해도 연속이 될 수 없다.

앞의 문제는 빠진 점의 높이를 극한값에 맞추어 채울 수 있었지만, 이 문제는 한 점의 함숫값을 바꾸어도 양쪽 상수 구간의 서로 다른 값은 달라지지 않는다. 재적용할 때는 문제·조건·필요한 수치만 남기고 해설 부분은 가린다. 학생이 먼저 “x≠2의 식의 극한은 존재하는가?”에 답한 뒤 약분과 대입을 스스로 완성하는지 확인한다. 끝값만 보고 결론을 내리지 않도록, 구간 전체의 연속성이나 중간의 끊김, 처음부터 허용되지 않는 입력이 있는지도 함께 표시하게 한다.