삼천동 고등수학과외

구 방정식의 완전제곱을 끝낸 뒤 검산 결과와 처음 답한 반지름이 어긋났다면, 계산의 어느 조건을 놓쳤는지부터 확인해야 한다. 문제 $x²+y²+z²−2x+4y−6z−2=0$에서 상수 $-2$만 보고 반지름을 $\sqrt2$라고 답했다면, 오른쪽의 수가 반지름 자체인지 반지름의 제곱인지 구분하지 않은 상태다. 배움노트 고등수학 수업에서는 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고, 식을 다시 정리하며 빠진 좌표와 제곱값 혼동을 나누어 살핀다.

상수만 보고 반지름을 정했는지 확인하기

먼저 학생에게 “세 좌표의 제곱항을 각각 완전제곱으로 만들었는가?”, “괄호를 만든 뒤 더한 상수를 반대편으로 옮겼는가?”라고 묻는다. 평면의 원을 다룰 때처럼 두 좌표만 보았을 가능성도 있으므로 $x,y,z$의 변화량을 각각 표시하게 한다. 공간에서 중심까지의 거리 제곱은 세 방향 변위의 제곱합으로 계산된다. 따라서 $x²−2x$는 $(x−1)²−1$, $y²+4y$는 $(y+2)²−4$, $z²−6z$는 $(z−3)²−9$로 바뀐다.

완전제곱 뒤 오른쪽의 의미를 비교하기

위 식을 정리하면 $(x−1)²+(y+2)²+(z−3)²=2+1+4+9=16$이다. 구의 표준형은 중심까지 거리의 제곱을 반지름의 제곱과 같게 둔 식이므로, 오른쪽 16은 반지름이 아니라 반지름의 제곱이다. 학생은 비교 자료에 적힌 표준형과 자신의 식을 나란히 놓고, 계산 결과와 그 결과가 뜻하는 값을 구분해 써야 한다. 수정 풀이에서는 중심이 $(1,−2,3)$, 반지름이 $\sqrt{16}=4$가 된다.

이때 교사는 “오른쪽이 16일 때 반지름을 16이라고 하면 어떤 식이 되는가?”와 같은 질문으로 정의를 확인하게 한다. 수정한 표준형을 다시 전개하면 $x²+y²+z²−2x+4y−6z−2=0$의 세 제곱항, 일차항, 상수항이 모두 복원된다. 이는 한 점을 대입한 부분 검산이 아니라 식 전체의 동치 변형을 확인하는 근거다.

풀이를 가린 상태에서 같은 구조를 다시 적용하기

이제 문제와 조건만 남긴다. 문제는 구 $(x−1)²+(y+2)²+(z−3)²=16$의 중심과 반지름을 구하는 것이다. 풀이와 정답, 중심으로 유도하는 표시를 가린 뒤 학생이 각 괄호가 0이 되는 좌표를 직접 적고, 오른쪽 수의 양의 제곱근을 취하게 한다. 중심은 $(1,−2,3)$, 반지름은 4가 된다.

학생은 점 $(5,−2,3)$을 골라 중심에서의 변화량을 $(4,0,0)$으로 표시하고 거리 4를 계산한 뒤, 구의 식에 대입해 $16=16$이 성립하는지 확인한다. 이후 전개형과 표준형을 섞어 제시하고 완전제곱의 순서를 복원하게 한다. 표현만 바뀐 문제인지, 계수나 오른쪽 값처럼 실제 조건이 달라진 문제인지 구별하면서, 공간 그림의 겉모양보다 $x,y,z$의 변화량과 반지름의 제곱을 먼저 확인하는 습관을 이어 간다.