수영구 고등수학과외

E(X)=2, V(X)=3일 때 Y=X+5의 평균과 분산을 구하라는 문제에서, 이렇게 답했다면 먼저 오답에서 사라진 조건이 무엇인지 찾아본다. 학생이 적은 답이 평균 7, 분산 8이라면 평균은 2에 5를 더한 결과로 보았지만, 분산에도 5를 더한 셈이다. 그러나 분산은 확률변수가 가질 수 있는 값 자체의 평균이 아니라 평균으로부터 떨어진 정도를 제곱해 확률을 곱한 값이다. 배움노트 고등수학 수업에서는 답만 맞히게 하기보다 어느 조건을 계산에 반영했는지 말과 식으로 다시 확인하게 한다.

주어진 값과 오답에서 빠진 조건 찾기

먼저 확률분포를 읽을 때 각 확률이 0 이상이고 그 합이 1이라는 기본 조건을 확인한 뒤, 평균은 값의 단순평균이 아니라 확률을 반영한 가중합임을 구분한다. 이어 “Y−E(Y)를 정리하면 +5가 남는가?”라고 묻는다. 학생은 E(Y)=7을 놓고 Y−7=(X+5)−7=X−2라고 직접 전개해 본다. 여기서 상수 5는 확률변수와 평균에 함께 더해졌으므로 편차에서는 사라진다. 만약 표준편차와 분산을 같은 단위로 읽고 있는지도 함께 묻는다. 분산은 편차 제곱의 가중합이고 표준편차는 그 제곱근이므로, 분산 8이라는 오답이 단순한 상수 이동에서 나왔는지 다른 혼동에서 나왔는지는 추가 계산으로 가려야 한다.

편차를 기준으로 평균과 분산을 나누어 계산하기

교사는 “Y의 평균은 X의 평균에서 5만큼 이동한다”는 설명과 “Y−7=X−2”라는 식을 나란히 제시한다. 그 다음 단계인 분산의 결론은 학생이 직접 완성한다. 즉, 각 값에서 평균을 뺀 편차가 그대로라면 편차 제곱의 확률 가중합도 그대로이므로 E(Y)=7, V(Y)=3이다. 특정 값 하나를 대입해 같은 결과가 나오는지 부분 검산할 수 있지만, 모든 값에 상수를 더해도 편차가 변하지 않는다는 일반적인 관계가 근거다. 학생은 수정 풀이에 평균의 이동과 분산의 불변을 따로 적고, 분산의 오른쪽 값이 표준편차가 아니라 분산 자체인지 확인한다. 정답은 평균 7, 분산 3이며, 평행이동은 중심도 함께 옮겨 편차의 제곱을 바꾸지 않는다는 점으로 검산한다.

조건을 바꾼 문제에서 분산의 변화를 다시 대조하기

이제 앞의 풀이와 정답을 가린 채 X=−1, 1이 각각 확률 1/2로 나타난다는 문제와 필요한 조건만 남겨 둔다. 학생은 Y=2X의 값이 −2, 2이고 확률이 각각 1/2임을 먼저 표시한 뒤 평균, 분산, 표준편차를 순서대로 구성한다. 평균은 0, 분산은 4·1/2+4·1/2=4, 표준편차는 √4=2가 된다. 앞 문제의 X+5는 표현만 바꾼 것이 아니라 상수 대신 실수배라는 실제 조건 변화이므로 결과도 다르게 판단해야 한다. 실수배는 평균으로부터의 거리를 2배로 만들고 분산은 그 제곱인 4배가 된다. 마지막에는 학생이 풀이 순서 없이 문제 자료와 검산 방법만 보고 두 경우를 구별하는지 확인한다. 상수 더하기와 분산이 섞이면 평균의 이동, 평균으로부터의 거리 배율, 분산과 표준편차의 단위를 분리해 적으며 다음 문제에도 같은 기준을 적용한다.