신매동 고등수학과외

공간의 위치 관계와 정사영을 다룰 때는 그림에서 보이는 방향만으로 길이를 판단하기 어렵다. 선분 AB의 원래 길이와 한 평면 위에 나타난 정사영의 길이는 서로 다를 수 있기 때문이다. 다음과 같이 답했다면 그 차이를 식으로 확인해 볼 필요가 있다. A(0,0,0), B(3,4,12)를 잇는 선분을 xy평면에 정사영하라는 문제에서 원래 선분의 길이 13을 그대로 적은 경우다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 이 답을 곧바로 계산 실수라고 단정하지 않고, 어떤 대상을 구해야 했는지부터 되짚는다.

두 끝점의 z좌표를 0으로 바꾸면 어떤 선분인가

먼저 “두 끝점의 z좌표를 0으로 바꾸면 어떤 선분인가?”라고 묻는다. 학생이 A′=(0,0,0), B′=(3,4,0)을 직접 표시하면, 정사영은 공간의 선분을 그대로 복사하는 것이 아니라 xy평면에 수직으로 내린 발들의 모임임을 확인할 수 있다. 따라서 문제에서 요구한 것은 AB의 길이가 아니라 A′B′의 길이다. 두 끝점의 높이 차이 12는 평면에 수직인 성분이므로 정사영에서는 사라진다. 이때 그림의 모양만 보고 두 직선이 평행하거나 수직이라고 추정하지 않았는지도 확인한다. 공간의 두 직선은 만나지 않아도 평행이 아닐 수 있으므로, 꼭짓점 좌표와 수선의 발을 먼저 구해야 한다.

원래 길이와 평면 성분을 나란히 대조하기

원래 선분의 방향벡터는 (3,4,12)이므로 길이는 √(3²+4²+12²)=13이다. 그러나 정사영된 선분의 방향벡터는 (3,4,0)이고, 그 길이는 √(3²+4²)=5이다. 교사가 여기서 계산을 끝내지 않고 A′와 B′를 구한 다음 학생이 조건을 반영한 다음 줄을 잇게 하면, 길이와 정사영 길이를 혼동했는지 스스로 드러난다. 학생은 “정사영 길이는 √(3²+4²)=5”라고 수정해 적는다. 검산으로 5²+12²=25+144=169=13²을 확인하면 5는 평면 성분, 12는 평면에 수직인 성분이라는 관계가 맞는다. 단순한 수치 대입을 넘어, 벡터를 평면 방향 성분과 수직 성분으로 나눈 결과와도 일치한다.

조건을 남긴 채 다시 적용하고 다음 풀이를 준비하기

같은 문제를 다시 풀 때는 문제의 점 좌표와 대상 평면만 남기고, 풀이 과정·정답·유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 학생은 먼저 A′=(0,0,0), B′=(3,4,0)을 표시하고, 원래 길이 13을 쓰는 대신 정사영된 두 점 사이의 거리를 구해야 한다고 설명한다. 이어 표현만 바꾼 문제가 아니라 조건을 실제로 바꾼 경우도 구별한다. A(1,2,0), B(1,2,5)를 xy평면에 정사영하면 A′=B′=(1,2,0)으로 겹친다. 따라서 사영 선분은 한 점이 되어 길이는 0이고, 원래 선분이 xy평면에 수직이어서 평면 방향 성분이 없다는 설명이 성립한다.

마지막에는 처음 오답에서 바뀐 결론을 “AB의 길이 13이 아니라 A′B′의 길이 5”처럼 식과 함께 표시하게 한다. 이후 정사영을 추측하지 않고 대상 평면에 대한 수선의 발을 먼저 구하는지, 조건이 달라져 사영 길이가 0이 되는 경우에도 같은 절차를 적용하는지 확인한다. 이렇게 해야 답을 기억한 것인지, 끝점을 평면에 옮긴 뒤 길이를 계산한 것인지 구별할 수 있다.