신매동 초등수학과외

100°와 80°로 삼각형을 만들 수 있을까?

이 글은 특정 학생의 기록이 아닌 교육용 예시입니다. 다음 활동에서 아이가 두 내각이 100°와 80°인 삼각형 종이를 만들려고 한다고 가정해 보겠습니다. 준비한 자료에는 문제에 주어진 각 수치가 표시되어 있고, 아이는 종이와 가위를 이용해 세 꼭짓점의 각을 한 점에 모아 봅니다. 이때 살펴볼 것은 변의 길이나 그림의 크기가 아니라 각 꼭짓점 안쪽의 벌어진 부분입니다. 질문은 “두 각이 180°를 채워도 세 번째 각을 더해 삼각형을 만들 수 있을까?”입니다.

아이는 100°와 80°를 먼저 더해 180°라고 확인할 수 있습니다. 이때 “두 각이 일직선을 채웠으니 세 번째 각도 이어 붙이면 삼각형이 된다”라고 생각할 가능성이 있습니다. 또는 세 번째 각을 0°로 두면 된다고 말할 수도 있지만, 이 해석으로는 넓이가 있는 삼각형을 만들 수 없습니다. 두 각의 합이 이미 180°이므로 세 번째 내각에 남는 크기는 180°-100°-80°=0°입니다. 각이 0°인 꼭짓점은 벌어진 부분이 없으므로 세 변이 둘러싸는 삼각형의 모양을 만들 수 없습니다.

각의 위치와 수를 모아 남는 각을 확인하기

활동 전에 아이가 각도를 잰 뒤 세 꼭짓점의 각을 모아 일직선과 비교할 수 있는지는 확인할 내용으로 둡니다. 교사는 먼저 100°와 80°가 적힌 두 꼭짓점의 안쪽 부분을 짚고, 두 종이 조각을 한 점에 맞대어 일직선을 이루는 모습을 보여 줄 수 있습니다. 그런 다음 “세 번째 꼭짓점에 남겨 둘 벌어진 부분은 몇 도일까?”라고 묻습니다. 아이가 말로 이유를 길게 설명하지 못하면 100° 조각과 80° 조각을 직접 옮기게 하고, 일직선에 남은 공간이 없는지 가리키거나 그려 보게 합니다.

이 과정에서 물건의 위치를 바꾸거나 조각을 옮기는 것은 각의 크기를 바꾸는 일이 아닙니다. 아이는 두 각을 한 점에 모은 뒤 100+80=180을 계산하고, 전체 일직선 180°에서 이미 사용한 각을 빼서 남는 각이 0°임을 확인합니다. 따라서 이 조건에서는 넓이가 있는 삼각형을 만들 수 없다는 답을 자료와 식으로 함께 보여 줄 수 있습니다. 교사가 한 꼭짓점의 조작을 시범 보였다면, 이어지는 모으기와 빼기 과정은 아이가 직접 다시 해 보도록 합니다.

자료를 처음 상태로 되돌려 재시도하기

재시도할 때는 100°와 80°가 주어진 문제와 필요한 삼각형 종이, 가위는 그대로 두고 해설과 정답만 가립니다. 이미 180°가 만들어진 모양을 완성된 답처럼 남겨 두지 않고, 아이가 두 각을 다시 놓아 보며 세 번째 각의 자리를 직접 확인하게 합니다. 교사는 “두 각을 모은 뒤 남은 공간이 있는가?”, “그 공간의 크기를 식으로 어떻게 나타낼 수 있는가?”처럼 행동과 계산을 연결하는 질문을 합니다. 아이가 0°를 가리키거나 남은 부분이 없음을 그림으로 표시해도 이해의 근거가 될 수 있습니다. 다시 계산한 100+80=180, 180-180=0을 통해 같은 결론을 확인하되, 단순히 답을 외웠는지는 자료를 다시 조작하는 과정에서 살핍니다.

새로운 각으로 삼각형 조건 적용하기

이어서 50°, 60°, 70°가 표시된 새로운 삼각형 종이를 사용해 세 꼭짓점을 잘라 한 점에 모아 봅니다. 이번에는 50+60+70=180°이므로 세 내각이 모였을 때 일직선을 채우고, 각 꼭짓점에는 모두 0°가 아닌 벌어진 부분이 남습니다. 아이는 변의 길이나 그림의 축척을 세는 대신 각의 크기를 확인하여 기본 문제와 다른 결론을 얻습니다. 추가로 40°·60°·80°를 유지한 채 크기가 다른 삼각형 두 개를 비교하면, 같은 각이라도 실제 변 길이와 전체 크기는 다를 수 있음을 살필 수 있습니다. 다음 활동에서는 숫자만 기억하는지, 바뀐 각 자료를 직접 모으고 식으로 이유를 보여 주는지 확인합니다.