율암동 수학과외

최솟값 5, x=-1이라는 오답에서 확인할 점

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. y=-2(x-1)²+5의 최댓값과 그때의 x를 구하는 문제에서 “최솟값은 5이고 x=-1이다”라고 썼습니다. 이 답은 제곱식의 위치와 앞에 붙은 음수의 역할을 서로 다르게 해석한 결과일 수 있습니다. 먼저 식의 괄호 안이 0이 되는 x를 찾으면 x-1=0이므로 x=1입니다. x=-1을 대입하면 y=-2(-2)²+5=-8+5=-3이므로, 5가 나오는 값도 아니고 꼭짓점의 가로 좌표도 아닙니다.

교사는 곧바로 계산 실수라고 단정하지 않고 “괄호 안이 0이 되는 x는 얼마인가요?”, “제곱한 값은 0보다 작아질 수 있나요?”라고 묻습니다. 학생이 x=1은 찾지만 최댓값과 최솟값을 반대로 말한다면 개념 적용을 먼저 확인하고, x=-1을 고집한다면 식의 괄호와 이동 방향을 어떻게 읽었는지 함께 살핍니다. 이처럼 오답 하나만으로 원인을 정하지 않고, 개념을 말로 설명하는 과정과 실제 식에 적용하는 과정을 나누어 봅니다.

음의 제곱항이 만드는 최댓값

이 식에서 (x-1)²은 어떤 실수 x에 대해서도 0보다 작아질 수 없고, 가장 작은 값은 0입니다. 그런데 그 앞에 -2가 있으므로 -2(x-1)²는 0보다 작거나 같고, 가장 큰 값은 0입니다. 따라서 y=-2(x-1)²+5는 0에 5를 더한 5를 넘을 수 없습니다. 이때 제곱항이 0이어야 하므로 x-1=0, 즉 x=1입니다. 그러므로 최댓값은 5, 그때의 x는 1입니다.

교사는 제곱항 앞의 음수와 제곱의 최솟값 0을 연결해 설명한 뒤, 풀이 전체를 대신 완성하지 않습니다. 학생이 처음 적은 “최솟값 5, x=-1”에서 먼저 x의 판단을 x=1로 고치고, 이어서 제곱항이 0일 때 y의 값이 5가 된다는 식을 직접 다시 씁니다. 학생이 부호를 잘못 다루면 -2×0과 -2×4를 함께 비교해 보이며, 어느 값이 더 큰지 판단하게 합니다. 필요한 부분은 교사가 짧게 풀어 보이고, 그다음 결론은 학생이 이어서 말하고 계산하도록 돕습니다.

조건에 대입해 결과 확인하기

수정한 풀이가 식의 조건과 맞는지 별도로 확인할 수 있습니다. 모든 실수 x에서 (x-1)²≥0이므로 -2(x-1)²≤0이고, 따라서 y≤5입니다. 실제로 x=1을 대입하면 y=-2×0²+5=5가 됩니다. 이 두 가지가 함께 성립하므로 5가 최댓값이고 x=1일 때 그 값에 도달한다는 결론을 확인할 수 있습니다.

풀이 순서를 보고 따라 쓴 경우에는 수정 풀이와 정답을 가린 뒤, 문제의 식과 조건만 다시 보여 주고 처음부터 해결하게 합니다. 이때 학생이 제곱항이 0이 되는 x는 찾지만 최댓값을 설명하지 못하는지, 아니면 부호 계산에서 막히는지를 보고 다음 도움의 정도를 조절합니다. 답을 다시 적었다는 사실만으로 이해했다고 판단하지 않고, 왜 y가 5를 넘을 수 없는지 근거를 말하고 식에 대입해 확인하는지를 봅니다.

새 식에 적용하고 이동 방향까지 비교하기

이제 기본 문제와 구분되는 새 문제를 살펴봅니다. y=-3(x+1)²+8의 최댓값과 그때의 x를 구할 때는 앞의 계수가 여전히 음수이므로 제곱항이 0일 때 최댓값을 얻는 방법을 그대로 사용할 수 있습니다. x+1=0에서 x=-1이고, 이때 y=8입니다. 따라서 최댓값은 8, 그때의 x는 -1입니다. 앞 문제와 달라진 것은 괄호 안의 부호와 꼭짓점의 위치이며, 음의 계수가 제곱항의 최솟값을 이용해 최댓값을 만든다는 핵심은 같습니다.

필요하다면 이동 방향을 구분하는 비교 자료로 y=x²를 오른쪽으로 7만큼 옮긴 식을 확인할 수 있습니다. 이 경우 식은 y=(x-7)²이고 꼭짓점은 (7,0)입니다. 반대로 y=(x+7)²의 꼭짓점은 (-7,0)이므로 왼쪽 이동입니다. 다음 수업에서는 새 문제를 이전 풀이와 정답을 가린 상태에서 다시 해결하고, 왜 괄호 안이 0이 되는 x를 찾아야 하는지와 계수의 부호가 최댓값·최솟값 판단에 어떤 역할을 하는지를 설명할 수 있는지 확인합니다.