율암동 고등수학과외

직선 하나라는 이유로 접점 하나라고 판단했다면

원 x²+y²=5와 직선 x+y=1의 교점 개수를 구하는 문제에서 이렇게 답했다고 해 보자. “직선이 한 식으로 주어졌으므로 원과 만나는 점도 하나이고, 접점이다.” 배움노트 고등수학 수업에서는 이 답만 보고 곧바로 개념을 단정하지 않는다. 먼저 어느 판단이 처음 빠졌는지 확인한다. 직선이 하나의 식으로 표현된다는 사실과 원과 실제로 만나는 점의 개수는 서로 다른 문제이기 때문이다. 원과 직선의 위치 관계는 중심에서 직선까지의 거리와 반지름을 비교해 판단해야 한다.

중심은 (0,0), 반지름은 √5이다. 중심에서 직선 x+y−1=0까지의 거리는 |−1|/√(1²+1²)=1/√2이다. 학생에게 “이 거리가 반지름보다 작은가, 같은가, 큰가?”라고 묻고, 직선의 식을 보고 접점을 추측한 것인지, 거리의 절댓값을 빠뜨렸는지, 반지름과 비교하지 않았는지를 직접 말하게 한다. 거리가 반지름보다 작으면 두 교점, 같으면 접점 하나, 크면 교점이 없다는 세 경우를 표나 짧은 부등식으로 표시하게 하면 판단 근거가 분명해진다.

거리 비교 뒤 대입으로 교점 좌표를 확인하기

이번에는 학생이 중심과 직선 사이의 거리 1/√2가 반지름 √5보다 작다는 것을 적고 “두 점에서 만난다”고 수정해 보자. 개수 판단만 끝내지 않고 좌표까지 확인하려면 직선에서 y=1−x를 얻어 원의 식에 대입한다. x²+(1−x)²=5이므로 2x²−2x−4=0, 즉 x²−x−2=0이다. 따라서 x=2 또는 x=−1이고, 각각 y=−1 또는 y=2가 된다. 교점은 (2,−1), (−1,2)이다.

검산은 계산을 대신하는 장식이 아니라 조건이 모두 맞는지 대조하는 단계다. (2,−1)을 원에 넣으면 4+1=5, 직선에 넣으면 2−1=1이다. (−1,2)도 1+4=5이고 −1+2=1이다. 두 좌표가 원과 직선에 각각 모두 성립하므로 교점은 정확히 2개다. 만약 대입 결과가 한 식에서만 맞는다면 근의 계산이나 y값 복원 과정을 다시 표시해야 한다.

조건을 바꾸어 접하도록 만드는 값 다시 구하기

이제 대표 문제의 정답과 검산을 가린 상태에서 문제와 필수 조건만 남겨 다시 시작한다. 실수 c에 대해 직선 x+y=c가 원 x²+y²=8에 접하도록 하는 c를 구하는 문제다. 먼저 원의 중심은 (0,0), 반지름은 √8임을 적고, 중심에서 직선까지의 거리를 |c|/√2로 세운다. 접선이 되려면 두 거리가 같아야 하므로 |c|/√2=√8, 따라서 |c|=4이고 c=−4 또는 c=4이다. c=4일 때 접점은 (2,2), c=−4일 때는 (−2,−2)이며, 각각 x²+y²=8을 만족한다.

여기서 식의 표현만 바뀐 것과 조건 자체가 바뀐 것을 구별해야 한다. 앞 문제는 거리와 반지름을 비교해 두 교점 여부를 판단했고, 새 문제는 두 값이 같아지도록 상수를 정했다. 재적용에서는 문제, 원과 직선의 식, 중심과 반지름만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린다. 학생이 거리, 비교 또는 등식, 성립 조건, 좌표 검산을 차례로 직접 적는지 확인한다. 접점 수를 먼저 추측하면 중심에서 직선까지의 거리와 반지름을 다시 구해 작음·같음·큼의 세 경우를 비교한 뒤 다음 풀이로 넘어간다.