기장군 초등수학과외

직사각형 종이 두 장을 붙였을 때 둘레를 어떻게 구하는지 교육용 예시로 살펴보겠습니다. 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 가로 6cm, 세로 3cm인 직사각형 종이 두 장의 원래 둘레를 각각 구한 뒤, 한 장의 3cm 변과 다른 한 장의 3cm 변을 맞붙입니다. 두 종이의 안쪽에 들어간 선분은 완성된 모양의 바깥쪽에서 보이지 않는데, 이 공유 변의 길이를 왜 두 번 빼야 하는지가 중심 질문입니다.

두 종이의 둘레와 맞닿은 선분 확인하기

먼저 변의 길이가 표시된 종이를 문제의 조건대로 놓습니다. 직사각형 한 장의 둘레는 6+3+6+3=18cm이고, 두 장을 따로 계산하면 18+18=36cm입니다. 이때 두 종이를 붙이기 전에는 맞닿게 될 3cm 선분이 첫 번째 종이의 둘레에 한 번, 두 번째 종이의 둘레에도 한 번 들어 있습니다. 교사는 아이가 종이의 네 변을 손가락으로 따라가며 둘레를 확인하게 하고, 두 3cm 변이 실제로 맞닿는 구간인지 표시하게 합니다.

아이가 “공유 변은 선 하나이므로 한 번만 빼면 된다”고 생각할 수도 있습니다. 그러나 문제는 선의 개수가 아니라, 처음 더한 둘레에 그 길이가 몇 번 포함되었는지를 묻습니다. 각 종이의 둘레를 따로 더할 때 같은 접촉 구간 3cm가 양쪽에서 한 번씩 포함되었으므로, 합친 외곽에는 없는 길이를 3cm+3cm만큼 빼야 합니다. 점 하나로만 닿는 경우에는 공유하는 선분이 없지만, 이번에는 길이가 있는 선분 전체가 맞닿았다는 점도 함께 구분합니다.

공유 길이를 두 번 빼는 과정을 식으로 연결하기

교사는 두 종이를 붙인 상태에서 안쪽으로 들어간 3cm 선분을 한쪽 종이에서 한 번, 다른 쪽 종이에서 한 번 짚어 보일 수 있습니다. 이어서 아이가 두 종이를 떼었다가 다시 맞붙이고, 바깥쪽 외곽을 한 바퀴 따라가게 합니다. 손가락이 지나가는 외곽의 길이와 처음 계산한 36cm를 비교하면, 빠진 부분은 3cm짜리 두 구간입니다. 따라서 합친 도형의 둘레는 36-2×3=30cm입니다.

아이가 말로 이유를 길게 설명하지 못하더라도 3cm 선분 두 곳을 차례로 가리키거나, 해당 부분을 선으로 표시하고 식의 3과 3에 연결하면 이해의 근거가 드러납니다. 교사가 한 번 맞붙이는 과정을 시범 보인 뒤에는 아이가 직접 종이를 놓고 공유 구간을 다시 표시하게 합니다. 문제와 종이는 그대로 두되 해설과 정답은 가리고, 아이가 두 종이를 처음처럼 놓은 다음 36에서 무엇을 빼야 하는지 스스로 정하도록 합니다. 이때 이미 완성된 모양만 보고 답을 따라 쓰는 것이 아니라, 실제 맞닿은 선분을 찾아 식으로 옮기는지가 확인할 내용입니다.

조건이 달라진 새 문제에 적용하기

이제 새로운 자료로 가로 7cm, 세로 3cm인 직사각형 종이 두 장을 준비하고, 이번에도 길이 3cm인 변끼리 맞붙입니다. 한 장의 둘레는 7+3+7+3=20cm이므로 두 장의 원래 둘레 합은 40cm입니다. 맞닿은 3cm 선분은 이번에도 각 종이의 둘레에 한 번씩 포함되어 있었으므로 40-2×3=34cm가 됩니다. 기본 문제와 달라진 것은 가로 길이이고, 공유한 선분의 길이와 두 번 빼는 이유는 그대로입니다.

추가로 가로 5cm, 세로 3cm인 종이 두 장을 3cm 변으로 겹침 없이 붙여 볼 수 있습니다. 이때 넓이는 각 종이의 15cm²를 합한 30cm²이고, 바깥 모양은 10cm×3cm 직사각형이 되어 둘레는 10+3+10+3=26cm입니다. 다음 확인에서는 기본 문제와 새 문제에서 바뀐 수를 살피면서, 아이가 답만 기억하는지 아니면 종이를 직접 붙이고 공유 선분이 양쪽 둘레에 포함되었던 이유를 가리켜 보이는지 확인합니다.