기장군 고등수학과외

평균이 정수가 아닐 때 먼저 확인할 것

확률과 통계에서 이항분포의 평균을 구할 때 결과가 반드시 정수여야 한다고 생각하면 다음 풀이에서 막히기 쉽다. 예를 들어 성공 횟수 X가 X~B(3,1/2)일 때 E(X)를 구하고, 평균값 1.5가 가능한지 설명해 보자. 이항분포의 평균은 E(X)=np이므로 E(X)=3×1/2=1.5이다. 기댓값은 여러 시행 결과의 평균적 위치를 나타내는 값이므로 소수가 될 수 있으며, 실제 한 번의 시행에서 성공 횟수가 1.5회라는 뜻은 아니다. 각 확률을 직접 대조하면 X=0,1,2,3의 확률은 각각 1/8, 3/8, 3/8, 1/8이고, 확률을 곱해 더한 값은 0×1/8+1×3/8+2×3/8+3×1/8=12/8=1.5이다.

성공을 실패로 바꿀 때 달라지는 조건

이제 기준이 되는 문제로 돌아가 보자. X~B(5,0.2)에서 X가 성공 횟수이고, 실패 횟수 Y=5−X의 분포와 평균을 구하는 상황이다. 이렇게 답했다면 풀이를 곧바로 정답으로 바꾸기보다 “실패를 새 성공이라고 부르면 그 확률은 얼마인가?”라고 확인한다. 실패확률은 1−0.2=0.8이므로 Y는 같은 다섯 번의 독립시행에서 실패한 횟수로 해석할 수 있다. 이항분포는 같은 성공확률을 가진 독립시행을 정해진 횟수 반복한 성공 횟수이므로, 시행 횟수는 5로 유지되고 성공확률만 0.2에서 0.8로 바뀐다. 따라서 Y~B(5,0.8)이다. 학생이 횟수, 새 성공확률, 독립 조건을 각각 표시하게 하며, 특정 확률과 기대 횟수를 혼동했는지도 확인한다. “Y도 B(5,0.2), 평균 1”이라는 오답은 원래 성공 횟수 X의 정보를 그대로 옮긴 것이며, 실패를 세는 새 상황의 조건을 반영하지 못한 경우다.

식으로 수정하고 조건을 바꾸어 다시 대조하기

학생은 바뀐 결론을 식으로 직접 적어 Y~B(5,0.8), E(Y)=5×0.8=4로 수정한다. 동시에 E(5−X)=5−E(X)=5−1=4를 계산해 두 방법의 결과를 대조한다. 이 식은 한 수치만 맞는지 보는 검산이 아니라, Y=5−X라는 변환과 기대값의 선형성을 이용한 일반적인 근거다. 이후 문제의 내용과 조건만 남기고 풀이, 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 다시 시작한다. 먼저 실패를 성공으로 세는지, 시행마다 확률이 같은지, 독립성이 유지되는지 표시한 뒤 분포와 평균을 적게 한다. 같은 문제의 표현만 바꾼 것과 실제 성공확률이나 시행 횟수가 바뀐 것은 구별해야 한다. 마지막으로 X~B(3,1/2)의 평균을 1.5로 구한 이유를 말하게 하여, 답을 기억한 것이 아니라 E(X)=np를 새 조건에 적용했는지 확인한다. 이 과정을 거치면 배움노트 고등수학 수업에서도 이항식에 수치를 대입하기 전에 문제의 성공 기준과 조건부터 읽는 습관을 세울 수 있다.