단구지구 고등수학과외

“sin150°는 음수인가? 높이는 길이인가 방향값인가?”

두 변의 길이가 4cm와 6cm이고 끼인각이 150°인 삼각형의 넓이를 구하는 상황에서 먼저 이 짧은 문답으로 시작한다. 만약 “둔각이니까 사인도 음수이고 높이도 음수”라고 답했다면, 곧바로 오답의 원인을 하나로 정하지 않고 처음 적은 식과 답을 함께 대조한다. 삼각형의 넓이에서 높이는 밑변에 내린 선분의 길이인지, 방향을 나타내는 값인지 구분해 보게 한다. 또한 넓이 공식의 1/2을 빠뜨렸는지, 둔각이라는 도형의 모양을 사인값이나 높이의 부호로 잘못 옮겼는지도 확인 질문으로 나눈다.

밑변 연장선에 높이를 표시하고 식의 조건 확인하기

교사는 두 변과 그 끼인각이 주어졌을 때 넓이를 구하는 식이 (1/2)ab sin C임을 제시한다. 여기서 C는 삼각형의 내부 각이므로 0°와 180° 사이에 있고, sin150°는 양수이다. 그림이 둔각으로 보이더라도 높이는 밑변에 수직으로 내린 선분의 길이이므로 음수가 되지 않는다. 한 변을 밑변 4cm로 정하고 다른 변 6cm의 끝에서 밑변의 연장선에 수선을 표시하면 높이는 6sin150°=3cm이다. 선분의 위치가 밑변의 연장선 쪽에 놓이는 것과 길이가 음수라는 해석은 다르다는 점도 함께 표시한다. 기준과 비교할 식은 교사가 보여 주되, 실제 계산과 답의 선택은 학생이 직접 이어 가게 한다.

학생의 수정 풀이와 조건을 남긴 재적용

학생이 다시 쓰는 풀이는 넓이=(1/2)·4·3=6cm²이다. 따라서 정답은 6cm²이고, sin150°=sin30°=1/2이라는 관계로도 (1/2)·4·6·1/2=6을 확인할 수 있다. 다만 150°와 30°는 보각이므로 넓이는 같아도 삼각형의 모양까지 같다는 뜻은 아니다. 다음 점검에서는 문제와 조건인 “두 변 4cm, 6cm, 끼인각 30°”만 남기고 풀이·정답·높이 유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 학생은 먼저 높이를 6sin30°=3cm로 구한 뒤 4·3/2=6cm²를 적고, 마지막에 (1/2)ab sin C와 대조한다. 예시 오답을 스스로 고친 뒤 “sin150°는 음수인가?”, “높이는 길이인가 방향값인가?”에 답하고 새 풀이까지 맞아야 다음 학습으로 넘어간다. 도형을 다시 그릴 때는 길이와 각을 표시하고, 겉모양만 보고 직각이라고 가정하지 않는지 함께 살핀다. 이처럼 배움노트 고등수학 수업에서는 같은 풀이 원리를 유지한 채 각의 값과 도형의 모양을 구별해 확인한다.