약사동 초등수학과외

연결된 두 점을 하루 변화로 읽어도 될까?

다음 활동에서 아이가 그래프의 연결선만 보고 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 수면 자료에서 1일의 값은 10cm, 3일의 값은 16cm인데 2일 기록은 없습니다. 그래프에는 두 점이 선으로 이어져 있으므로, 아이가 두 점 사이를 하루 변화로 읽거나 1일에서 3일까지를 하루 간격처럼 받아들일 수 있습니다. 이때 먼저 살펴볼 문제는 연결된 두 점이 언제나 하루 간격을 뜻하는지입니다.

자료에는 한 점이 한 시점의 값을 나타내고, 이웃한 두 점의 차이가 해당 기간 동안의 변화량을 나타낸다는 관계가 담겨 있습니다. 따라서 1일과 3일의 실제 날짜를 표에서 확인해야 합니다. 값은 10cm에서 16cm로 6cm 늘었지만, 두 날짜 사이에는 1일에서 3일까지 이틀이 있습니다. 그러므로 확인할 수 있는 것은 이틀 동안 전체 6cm가 변했다는 사실이며, 1일에서 2일까지 또는 2일에서 3일까지 각각 얼마씩 변했는지는 이 자료만으로 알 수 없습니다.

날짜와 값, 변화량과 기간을 따로 놓아 보기

교사는 그래프 종이나 날짜와 수치가 적힌 표를 펼쳐 놓고 1일과 3일을 짚습니다. 아이에게 먼저 “이 점은 며칠의 값인가?”, “두 점의 값은 각각 얼마인가?”, “두 날짜 사이에는 며칠이 있는가?”를 차례로 묻습니다. 아이가 말로 설명하기 어렵다면 1일과 3일에 표시된 점을 가리키게 하고, 날짜 사이에 하루 간격 표시를 두 칸 옮겨 놓게 합니다. 이렇게 하면 점의 위치와 값, 날짜 사이의 기간을 한꺼번에 추측하지 않고 각각 확인할 수 있습니다.

그다음 아이는 값의 차이를 계산합니다. 16-10=6이므로 전체 변화량은 6cm이고, 기간은 3-1=2일입니다. 여기서 6cm를 2일로 나누어 3cm/일을 계산할 수는 있지만, 그것은 이틀 동안의 평균 변화량일 뿐입니다. 실제로 매일 3cm씩 변했다는 뜻은 아닙니다. 중간 날짜인 2일의 값이 측정되지 않았기 때문입니다. 아이가 그래프의 중간을 손가락으로 짚으며 2일의 값을 말하려 한다면, 교사는 “그 날짜의 실제 측정값이 표에 있나?”라고 다시 확인하게 합니다.

해설 뒤 아이가 다시 자료로 답하기

교사가 1일과 3일 사이를 하루 간격으로 읽으면 안 되는 이유를 한 번 시범 보인 뒤에는 문제와 날짜 표시, 수치가 적힌 표는 그대로 둡니다. 해설과 정답만 가리고 아이가 다시 1일과 3일을 찾아 표시하게 합니다. 아이는 두 점의 값을 10cm와 16cm로 적고, 값의 차이 6cm와 기간 이틀을 함께 기록합니다. 이어 “전체 6cm 변화는 이틀 구간이고, 하루별 실제 변화는 알 수 없다”는 결론을 말하거나, 해당 부분을 가리키고 날짜 사이를 두 칸으로 그려 근거를 보여 주면 됩니다.

이 과정에서는 최고점, 가장 큰 증가, 측정되지 않은 값도 구별합니다. 16cm는 제시된 두 값 중 큰 값이지만, 2일의 값이나 매일의 변화량을 알려 주는 값은 아닙니다. 연결선은 자료의 흐름을 보기 쉽게 만든 것이며, 선 위의 모든 지점이 실제로 측정되었다는 뜻은 아닙니다.

새 자료에서 연결선의 의미 확인하기

이어서 매일 정오에만 측정한 자료를 제시합니다. 1일은 10cm, 2일은 14cm라고 할 때, 연결선의 중간을 실제 밤 12시의 측정값이라고 주장하는지 확인합니다. 아이는 두 점 사이의 기간이 하루라는 점은 읽을 수 있지만, 밤 12시의 실제 값은 자료에 없습니다. 따라서 연결선의 중간은 두 측정값을 시각적으로 이어 놓은 위치일 뿐, 실제로 측정된 관측값을 뜻하지 않는다고 판단해야 합니다.

마지막으로 1일 10cm, 2일 14cm, 4일 20cm 자료를 비교할 수 있습니다. 날짜 간격에 맞추면 1일에서 2일까지는 하루 동안 4cm, 2일에서 4일까지는 이틀 동안 6cm가 늘었습니다. 구간별 평균 변화량은 각각 4cm/일과 3cm/일이지만, 둘째 구간의 매일 변화가 정확히 3cm였다고 단정할 수는 없습니다. 아이가 새 자료의 날짜와 측정값을 먼저 찾고, 달라진 기간을 세어 변화량과 구별하는지 확인하면 됩니다.