석사동 초등수학과외

40°·60°·80° 삼각형에서 생긴 질문

교육용 예시로, 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 각 수치가 40°, 60°, 80°로 적힌 삼각형 종이와 가위를 준비하고, 이 각을 유지한 채 크기가 다른 삼각형 두 개를 그립니다. 두 삼각형은 모양이 비슷하지만 한쪽은 작고 다른 한쪽은 크게 만들 수 있습니다. 먼저 각도기를 이용해 세 꼭짓점의 각을 확인하고, 각 종이를 잘라 세 내각의 벌어진 부분을 한 점에 모읍니다. 세 각은 40+60+80=180°가 되어 일직선을 채웁니다.

이때 아이가 “세 각의 합이 180도이니 세 변의 길이도 하나로 정해질 것 같다”고 생각할 수 있습니다. 그러나 이 답은 이 조건에서는 맞지 않습니다. 각은 두 변이 벌어진 정도를 나타내고, 삼각형의 실제 크기는 나타내지 않기 때문입니다. 같은 40°·60°·80°의 각을 가진 삼각형이라도 모든 변을 같은 비율로 늘리거나 줄여 크기를 다르게 만들 수 있습니다. 따라서 세 각의 합이 맞는다는 사실은 삼각형이 각 조건을 만족하는지 확인해 주지만, 변의 길이를 하나로 결정하지는 않습니다.

각의 모양과 변의 길이를 나누어 보기

교사는 먼저 삼각형 종이의 세 꼭짓점을 차례로 짚으며 “각 수치는 꼭짓점에서 두 변이 벌어진 정도이고, 변의 길이는 꼭짓점 사이의 거리”라고 설명합니다. 이어 한 삼각형의 세 각을 잘라 한 점에 모으는 과정을 시범으로 보이고, 아이에게 나머지 각 조각을 옮겨 일직선이 되는지 확인하게 합니다. 아이가 말로 이유를 길게 설명하지 못하더라도 40° 조각, 60° 조각, 80° 조각을 순서대로 가리키고 180° 일직선에 맞추면 각의 합을 확인한 근거가 드러납니다.

그다음에는 같은 각을 가진 작은 삼각형과 큰 삼각형을 나란히 놓습니다. 아이는 대응하는 꼭짓점의 각을 비교하고, 자로 각 변의 길이를 재어 두 도형의 크기가 다르다는 점을 확인합니다. 이때 그림의 기울기나 바깥쪽 각을 세지 않고 삼각형 내부의 세 내각만 대상으로 삼습니다. 작은 삼각형의 변이 예를 들어 3cm, 4cm, 5cm라면 큰 삼각형은 그보다 긴 변을 가질 수 있지만, 두 도형의 각은 그대로일 수 있습니다. 그러므로 아이가 연결해야 할 결론은 “각은 같지만 실제 변 길이는 다를 수 있다”입니다.

해설 뒤 다시 놓고 확인하는 과정

교사가 설명한 뒤에는 문제와 삼각형 종이, 각도기와 자는 그대로 두고 해설과 정답만 가린 상태에서 다시 시작합니다. 아이가 처음부터 각 조각을 모두 정확히 옮기기 어렵다면 교사는 한 조각을 일직선의 시작 부분에 놓는 것만 시범으로 보입니다. 이어지는 두 조각은 아이가 직접 옮겨 40°+60°+80°가 180°가 되는지 확인하게 합니다. 이후 작은 삼각형과 큰 삼각형의 같은 위치에 있는 각을 가리키고, 자로 변을 재어 길이가 같지 않음을 표시하게 합니다.

이 활동에서 답을 다시 “세 변의 길이는 정해지지 않는다”고 말하는 것만으로 끝내지 않고, 각 조각을 모은 결과와 두 삼각형의 변 길이 비교를 함께 근거로 사용하게 합니다. 아이가 숫자 180°만 기억한 것인지, 각의 정보와 크기의 정보를 구분하는지는 서로 다른 크기의 삼각형을 직접 놓고 가리키거나 그려 보는 행동으로 확인할 수 있습니다.

90°가 포함된 새 삼각형에 적용하기

새 자료에서는 한 내각이 90°인 삼각형을 사용합니다. 이 조건에서 나머지 두 각을 잘라 한 점에 모으면 90°+나머지 두 각의 합이 180°가 되어야 하므로, 나머지 두 각의 합은 180-90=90°입니다. 아이는 90° 조각을 먼저 놓고 남은 두 조각을 이어 붙여 직각을 이루는지 확인합니다. 기본 문제와 달라진 것은 세 각의 수치 중 하나가 90°로 바뀐 점이지만, 세 내각을 모아 180°와 비교한다는 관계는 같습니다.

마지막으로 100°와 80°를 두 내각으로 정한 삼각형을 생각해 볼 수 있습니다. 두 각만으로 이미 100+80=180°이므로 남는 각은 0°입니다. 아이가 세 번째 각 조각을 놓을 자리가 없다는 점을 그림으로 표시하면, 넓이가 있는 삼각형을 만들 수 없다는 이유를 확인할 수 있습니다. 다음 활동에서는 각의 합이 180°인지뿐 아니라, 각 조건이 바뀌었을 때 실제 자료를 이용해 가능한 도형인지, 각만으로 크기까지 정할 수 있는지를 다시 살펴봅니다.