약사동 중등수학과외

“(2x−1)²=2x²−4x+1”은 조건을 만족할까?

중3 다항식의 곱셈 수업에서 학생은 대표 문제 “(2x−1)²을 전개하라”와 자신의 답안 “(2x−1)²=2x²−4x+1”을 나란히 놓았습니다. 가운데 항 −4x와 상수항 1은 적었지만, 첫 항의 계수가 2로 남아 있습니다. 교사는 곧바로 정답을 말하지 않고 “(2x)(2x)의 계수는 얼마일까?”라고 물었습니다.

학생이 2라고 답하면, 교사는 그 답과 계산 줄을 함께 확인합니다. 학생이 곱셈 과정에서 2×2를 실제로 계산했는지, 아니면 차의 제곱에서 첫 항을 2x²로 옮겨 적었는지를 구분하기 위해서입니다. 현재 오답에서 우선 드러난 판단은 계수의 제곱 누락입니다. 다만 이 한 번의 오답만으로 계산 실수의 원인을 확정하지 않고, 질문에 대한 답과 다음 계산을 직접 쓰는 과정을 이어서 봅니다.

계수와 문자를 함께 제곱하기

약사동중등수학과외 수업에서는 학생이 식의 모양만 외우지 않도록, 교사는 한 단계만 짚어 줍니다. “2도 두 번 곱해져 4가 된다.” 그런 다음 학생에게 문자와 계수를 함께 처리해 보라고 맡깁니다. 학생은 처음의 2x²를 지우고, 차의 제곱 공식을 항별로 적었습니다.

(2x−1)²=(2x)²−2·2x·1+1²

이제 학생은 (2x)²에서 x만 제곱하는 것이 아니라 계수 2도 제곱해야 한다는 점을 계산으로 확인합니다. 따라서 (2x)²=4x²이고, 가운데 항은 −2·2x·1=−4x, 마지막 항은 1²=1입니다. 학생이 직접 이어 쓴 수정 풀이는 다음과 같습니다.

(2x)²−2·2x·1+1²=4x²−4x+1

처음 풀이와 비교하면 가운데 항과 상수항은 그대로지만, 첫 항의 계수가 2에서 4로 바뀌었습니다. 교사는 학생에게 “왜 첫 항만 달라졌는지 식으로 말해 볼까?”라고 묻고, 학생이 “2와 x가 함께 있는 항 전체를 제곱하므로 2×2와 x×x를 계산했다”고 설명하는지 확인합니다.

값 대입과 네 곱으로 답을 따로 확인하기

수정한 식이 맞는지는 같은 전개를 다시 반복하지 않고 두 방식으로 검산합니다. 먼저 x=1을 원식에 대입하면 (2·1−1)²=1²=1입니다. 수정 결과에 x=1을 넣어도 4−4+1=1이므로 두 값이 일치합니다. 이 검산은 계수의 제곱이 빠졌다면 결과가 달라진다는 점도 보여 줍니다.

교사는 이어서 괄호를 네 번 곱으로 풀어 쓰게 합니다. (2x−1)(2x−1)=4x²−2x−2x+1이고, 같은 항을 모으면 4x²−4x+1입니다. 학생은 차의 제곱 공식만 바라보지 않고, 첫 항이 (2x)(2x)에서 나온다는 근거를 확인합니다. 값 대입과 네 곱의 전개가 모두 수정 답과 일치하므로 최종 답은 4x²−4x+1입니다.

부호가 달라진 곱에서 가운데 항 확인하기

새 적용 문제는 차의 제곱에서 한 괄호만 합으로 바꾼 “(2x+1)(2x−1)을 전개하라”입니다. 두 문제 모두 2x와 1을 곱한다는 원리는 유지되지만, 이번에는 두 괄호의 부호가 다릅니다. 학생은 공식을 바로 쓰지 않고 네 곱을 적습니다.

(2x+1)(2x−1)=4x²−2x+2x−1

교차 항 −2x와 +2x가 서로 소거되므로 결과는 4x²−1입니다. 앞의 문제에서는 가운데 항이 −4x로 남았지만, 새 문제에서는 부호가 서로 반대라서 사라졌다는 차이를 학생의 식에서 확인할 수 있습니다.

다음 수업에서는 대표 문제의 조건만 남기고 기존 오답과 수정 풀이, 정답을 가린 뒤 학생이 (2x)²에서 문자와 계수의 제곱을 함께 처리하는지 보겠습니다. 막히면 “2도 두 번 곱해져 4가 된다.”까지만 다시 보여 주고, 다음 계산은 직접 쓰게 합니다. 이어서 (2x+1)(2x−1)처럼 부호가 달라진 문제를 도움 없이 전개하고, 가운데 항이 소거되는 이유까지 말한 뒤 값 대입이나 네 곱 중 본풀이와 다른 방식으로 검산하는지를 확인합니다.