약사동 수학과외

이차식이라고 실근이 항상 두 개인 것은 아닙니다

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. x²−4x+4=0의 서로 다른 실근은 몇 개인가? 학생은 “이차식이므로 무조건 2개다.”라고 답했습니다. 이 답은 이차방정식의 차수와 서로 다른 실근의 개수를 같은 것으로 본 데서 나온 판단입니다. 하지만 문제에서 묻는 것은 식에 몇 개의 항이 있는지가 아니라, 조건을 만족하는 서로 다른 실수 x의 값이 몇 개인지입니다.

교사는 곧바로 계산 실수라고 단정하지 않고 “이 식을 인수분해하면 어떤 두 식의 곱이 되나요?”, “두 인수가 각각 0이 될 때 나오는 해가 서로 다른가요?”라고 묻습니다. 학생이 이유를 바로 설명하지 못하면 교사가 −4x를 만들 수 있도록 −2x와 −2x로 나누어 보는 과정을 함께 시작합니다. 그러면 x²−4x+4는 (x−2)²로 묶을 수 있고, 같은 인수가 두 번 나타난다는 점을 확인할 수 있습니다.

실근의 개수와 근의 값은 나누어 확인합니다

완전제곱식 (x−2)²=0에서 제곱한 값이 0이 되려면 x−2=0이어야 하므로 해는 x=2입니다. 두 인수를 각각 0으로 놓아도 x−2=0이 반복될 뿐, 서로 다른 값이 두 개 생기지 않습니다. 따라서 서로 다른 실근의 개수는 1개입니다. 같은 결론은 판별식으로도 확인할 수 있습니다. 이차방정식 ax²+bx+c=0에서 a가 0이 아니고 판별식 D=b²−4ac를 사용할 수 있을 때, 이 식에서는 a=1, b=−4, c=4이므로 D=(−4)²−4×1×4=0입니다. D=0은 중근을 뜻하므로 서로 다른 실근은 하나입니다.

이 과정에서 판별식의 값 0과 실제 근의 값 2도 구분해야 합니다. 0은 실근의 개수를 판단하는 데 사용하는 중간 정보이고, 2는 방정식을 만족하는 근 자체입니다. 교사는 학생이 개념은 알고도 결과를 잘못 계산한 것인지, 처음부터 “이차식이면 두 근”이라고 생각한 것인지 확인하기 위해 판별식 계산과 완전제곱식 풀이를 각각 짧게 다시 해 보게 합니다.

설명 뒤에는 풀이를 가리고 다시 해결합니다

교사가 (x−2)²=0까지 한 부분을 보여 준 뒤, 나머지 결론은 학생이 직접 이어 가도록 합니다. 학생은 처음의 “무조건 2개”라는 판단을 “두 인수가 같은 해를 주는지 확인해야 한다”로 바꾸고, x−2=0에서 x=2를 구합니다. 이어 “두 인수가 모두 x−2이므로 해의 값은 하나만 나온다”라고 문제의 조건과 연결해 설명합니다. 단순히 완전제곱식에 표시를 남기는 것으로 끝내지 않고, 서로 다른 실근의 개수까지 답하게 하는 것이 중요합니다.

검산할 때는 방금의 풀이를 그대로 베끼지 않고 수정 풀이와 정답을 가린 상태에서 원래 식을 다시 봅니다. x=2를 대입하면 2²−4×2+4=4−8+4=0이므로 조건을 만족합니다. 또 (x−2)²=0이라는 표현에서도 가능한 x가 2 하나뿐임을 확인할 수 있습니다. 학생이 여기서 막히면 개념 설명이 더 필요한지, 제곱식의 계산에서 어려움이 생겼는지 살펴보고 도움의 양을 조절합니다. 다른 풀이를 사용하더라도 조건과 계산이 맞으면 같은 답으로 인정합니다.

새 조건에서 같은 판단을 적용해 봅니다

이전 문제와 구분하여 새 문제로 (x+3)²=0의 해를 중복해서 세면 안 되는 이유를 확인합니다. 이번에는 수가 2에서 −3으로 바뀌었지만 완전제곱식이라는 구조는 같습니다. x+3=0이므로 해는 x=−3이고, 두 인수가 모두 x+3으로 같아 같은 해가 반복됩니다. 따라서 서로 다른 실근은 하나입니다. 학생이 이전 풀이와 정답을 가린 상태에서 이 결론을 스스로 구성하는지 확인합니다.

추가 비교가 필요할 때는 x²−9=0을 살펴볼 수 있습니다. 이 식의 판별식은 D=36>0이고, (x−3)(x+3)=0에서 두 근은 3과 −3입니다. 따라서 판별식이 양수라는 사실은 서로 다른 실근이 두 개라는 뜻이지, 두 근이 모두 양수라는 뜻은 아닙니다. 다음 수업에서는 학생이 완전제곱식과 판별식을 이용해 실근의 개수와 근의 값을 구분하고, 새 조건에서도 각 결론의 근거를 설명하는지 확인합니다.