약사동 고등수학과외

결과가 벡터인지 실수인지 먼저 확인하기

기하에서 벡터의 내적과 각을 다룰 때는 계산식뿐 아니라 내적의 결과 종류를 먼저 확인해야 한다. 예를 들어 a=(1,2), b=(3,−1)의 내적을 구하는 문제에서 어떤 학생이 a·b=(3,−2)라고 답했다면, 성분을 곱한 두 값을 아직 하나의 결과로 합치지 않았을 가능성이 있다. 이 한 번의 오답만으로 원인을 확정하지 않고 “내적 결과는 벡터인가, 실수인가?”라고 묻는다. 학생은 성분별 곱을 다시 표시하고, 마지막에 더해야 하는지 직접 판단한다.

내적은 두 벡터의 성분을 각각 곱한 뒤 그 합을 구하는 연산이므로 결과는 벡터가 아닌 하나의 실수다. 또한 a·b=|a||b|cosθ로 나타낼 수 있으며, 각 θ를 구하려면 두 벡터가 모두 영벡터가 아니어야 한다. 따라서 1·3과 2·(−1)을 따로 적은 뒤 부호를 포함해 더하는 과정이 필요하다. 교사는 중간 계산만 함께 확인하고, 최종 판단은 학생이 “내적은 성분 곱의 합인 실수이다”라고 문장으로 쓰게 한다.

부호와 정의에 따라 풀이를 다시 세우기

학생이 직접 a·b=1·3+2·(−1)=3−2=1이라고 수정해 적었다면, 정답은 1이다. 이때 단순히 답이 맞았다는 데서 끝내지 않고, 2·(−1)의 음수 부호가 유지되었는지, 성분 곱 두 개를 마지막에 더해 한 실수로 만들었는지를 확인한다. 내적의 분배 계산과 결과가 하나의 실수라는 정의가 서로 맞는지도 대조한다. 크기를 이용한 식으로 확인할 때에는 |a|=√5, |b|=√10이므로 cosθ=1/(√5√10)이라는 관계가 성립하며, 이는 성분 계산의 결과와 모순되지 않는다.

각을 묻는 문제에서는 내적을 크기로 나누는 조건도 따로 살핀다. 영벡터는 크기가 0이므로 |a||b|로 나눌 수 없고, 두 벡터가 모두 영벡터가 아닐 때에만 그 각을 정의한다. 또 내적이 양수인지 음수인지 0인지에 따라 예각, 둔각, 직각 여부를 판단할 수 있지만, 먼저 실제 내적값을 정확히 계산해야 한다. 결과를 벡터처럼 괄호로 남겨 두거나 성분 곱을 더하지 않은 상태는 정답으로 볼 수 없다.

조건을 바꾸어 수직 판정을 다시 적용하기

풀이와 정답을 가린 독립 연습에서는 다음 자료만 남긴다. a=(1,2), b=(2,−1)이고, 두 벡터가 영벡터가 아니라는 조건을 함께 제시한다. 학생은 먼저 바뀐 성분을 표시한 뒤 “수직인지 판단하라”는 질문에 맞게 내적을 계산한다. a·b=1·2+2·(−1)=2−2=0이므로 두 벡터는 수직이다. 마지막에는 cosθ=0/(√5·√5)=0이므로 θ=π/2라고 부분 검산해, 내적이 0이라는 판정과 각의 관계를 대조한다.

여기서 처음 문제와 새 문제는 풀이 방식은 같지만 b의 첫 번째 성분이 3에서 2로 바뀐 실제 조건 변경이다. 표현만 바뀐 문제로 넘기지 않도록 학생은 바뀐 조건을 먼저 표시하고, 내적을 수로 계산하는 방법은 유지하되 “값을 구하는 문제”와 “0인지 보아 수직을 판정하는 문제”를 구별한다. 재적용을 마칠 때에는 문제와 조건만 남긴 종이에 풀이·정답·유도 표시를 가린 상태로 다시 시작하고, 오답의 마지막 줄은 비워 둔다. 학생이 “수직이다. 내적이 0이기 때문이다”라고 결론과 이유를 직접 채우면, 다음에는 성분 곱의 합과 정의역 조건을 함께 설명할 수 있는지 확인한다.