원신흥동 초등수학과외

크기가 달라진 삼각형에서 생기는 생각

이 글은 교육용 예시로, 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 각 수치가 적힌 삼각형 종이에는 세 내각이 각각 40°, 60°, 80°로 표시되어 있습니다. 질문은 “이 삼각형을 같은 모양으로 두 배 확대하면 세 각의 합도 더 커질까?”입니다. 아이는 큰 삼각형이 되었으니 각도도 커질 것 같다고 말하거나, 변의 길이가 두 배가 된 것과 각의 크기가 달라지는 것을 함께 생각할 수 있습니다. 이때 답을 바로 고치기보다, 각도를 잰 뒤 세 꼭짓점의 각을 한곳에 모아 일직선과 비교할 수 있는지 먼저 확인합니다.

각은 꼭짓점 안쪽에서 두 변이 벌어진 부분이고, 변의 길이는 삼각형의 크기를 나타내는 요소입니다. 따라서 삼각형 종이를 확대했을 때 변은 길어지지만 같은 모양을 유지한다면 꼭짓점에서 벌어진 정도는 그대로입니다. “큰 삼각형은 세 각의 합도 더 크다”는 설명이 이 문제의 조건에는 맞지 않는 이유가 여기에 있습니다. 실제 각을 재어 보는 과정에서 수치와 그림을 연결하지 못하는지, 아니면 길이와 각을 혼동하는지 살펴볼 수 있습니다.

세 꼭짓점을 모아 180°와 비교하기

교사는 40°, 60°, 80°가 적힌 삼각형의 세 꼭짓점을 가리키며, 각 수치가 변의 길이가 아니라 삼각형 안쪽의 벌어진 부분을 나타낸다고 설명합니다. 가위를 사용해 세 꼭짓점의 각 부분을 오려 한 점에 모으는 시범을 보일 수 있습니다. 세 조각을 겹치지 않게 이어 붙이면 한쪽으로 곧게 뻗은 일직선을 채우며, 식으로는 40°+60°+80°=180°이 됩니다. 이때 바깥쪽으로 생기는 각이나 종이의 전체 크기는 세 내각의 합에 포함하지 않습니다.

시범 뒤에는 아이가 세 각 조각을 직접 옮겨 일직선을 만들고, 각 수치를 읽어 식과 비교해 보게 합니다. 긴 문장으로 이유를 말하지 못하더라도 40°, 60°, 80° 부분을 차례로 가리키고 한 줄로 맞추는 행동이 근거가 될 수 있습니다. 이어 같은 모양으로 두 배 확대된 삼각형에서도 꼭짓점 부분을 확인합니다. 큰 종이의 변은 더 길어졌지만 각 조각의 벌어진 정도와 수치는 그대로이므로, 다시 40°+60°+80°=180°임을 확인합니다.

자료를 처음 상태로 되돌려 다시 풀기

아이가 처음에 “크기가 커졌으니 180°보다 큰 합”이라고 생각했다면, 문제와 두 삼각형 자료는 그대로 두고 해설과 정답 표시만 가린 뒤 다시 시도하게 합니다. 교사는 한 꼭짓점의 각을 오려 일직선에 놓는 부분까지만 보여 주고, 나머지 두 각은 아이가 직접 옮기도록 합니다. 아이는 세 조각을 한 점에 모은 뒤 일직선이 되는지 살피고, 각 수치를 더해 180°와 비교합니다. 이 과정을 통해 삼각형의 위치나 변의 길이가 달라진 것과 각의 합이 달라지는 것을 구분할 수 있는지 확인합니다.

이 활동에서 확인할 것은 180°라는 답을 외웠는지가 아니라, 세 내각을 실제 자료에서 찾아 모으고 식으로 연결하는지입니다. 모양을 유지해 확대하면 각은 같고 세 각의 합도 180°라는 관계를 가리키기, 옮기기, 그리기로 보여 주어도 충분합니다.

한 각을 바꾼 새 문제와 다음 확인

이어서 두 내각이 40°, 60°인 삼각형에서 첫 번째 각을 50°로 바꾸고 둘째 각은 그대로 두는 새 문제를 제시합니다. 세 내각의 합이 180°이므로 나머지 각은 180°-50°-60°=70°입니다. 기본 문제에서 달라진 것은 첫 번째 각이 40°에서 50°로 10° 커진 점이고, 그 결과 나머지 각은 80°에서 70°로 10° 줄어든 점입니다. 아이가 그림의 크기만 보고 각을 판단하지 않고, 주어진 수와 180°의 관계를 이용해 새 값을 구하는지 살펴봅니다.

추가로 두 내각이 40°, 60°라고 적혀 있지만 그림이 정확한 축척으로 그려지지 않은 문제를 비교할 수 있습니다. 이때 그림의 벌어진 모양을 눈대중으로 재어 수치를 바꾸지 않고, 적힌 조건으로 나머지 각이 80°임을 계산해야 합니다. 다음 활동에서는 기본 문제와 새 문제에서 달라진 수를 먼저 표시한 뒤, 아이가 답만 말하는지 또는 각 조각을 모으거나 식을 써서 이유를 보여 주는지 확인합니다.