장대동 초등수학과외

21개의 구슬을 1/3에서 2/3으로 바꾸어 보기

이 글은 초등수학 활동을 위한 교육용 예시입니다. 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 구슬 21개를 같은 개수의 세 무리로 나누고, 그중 한 무리를 1/3로 골라 봅니다. 21개를 3개의 같은 무리로 나누면 한 무리는 7개이므로 1/3은 7개입니다. 이제 선택 비율을 2/3으로 바꾸라는 문제를 제시합니다. 아이는 분자가 1에서 2로 하나 늘었으니 구슬도 하나만 더해 8개라고 말할 수 있습니다. 이 답은 이 조건에서는 맞지 않습니다. 분자는 고른 무리의 수를 나타내며, 분모는 전체를 같은 개수로 나눈 무리의 수를 나타내기 때문입니다.

분수의 숫자와 실제 구슬을 연결하는 과정

교사는 구슬 21개를 세 구역에 똑같이 나누어 놓고, 각 구역에 구슬이 몇 개씩 들어갔는지 아이와 확인합니다. 한 구역에 7개가 들어갔다면 1/3은 구역 하나, 즉 7개를 뜻합니다. 교사는 “분자 1이 2가 되면 무엇이 하나 더 선택될까? 구슬 한 알일까, 구역 하나일까?”라고 묻고 첫 번째 구역을 짚어 시범을 보인 뒤 두 번째 구역을 아이가 직접 표시하게 합니다. 아이가 말로 설명하기 어렵다면 구역을 손가락으로 가리키거나, 선택한 구슬을 옮겨 두 묶음으로 펼쳐도 됩니다. 이때 활동 전에 아이가 물건을 같은 개수의 무리로 나눌 수 있는지, 분수만큼의 무리를 골라 볼 수 있는지는 직접 확인할 내용으로 둡니다.

아이에게 세 구역을 만들게 한 뒤 한 구역의 구슬 7개를 따로 모으고, 이어 두 번째 구역 7개를 옮기게 합니다. 선택한 구슬을 펼쳐 세면 7개에서 14개가 됩니다. 따라서 증가량은 구슬 1개가 아니라 두 번째 무리 전체인 7개입니다. 식으로는 2/3−1/3=1/3이고, 전체 21개의 1/3이 7개이므로 증가량도 7개라고 연결할 수 있습니다. 교사는 아이가 숫자 1과 2만 보고 답했는지, 실제로 한 무리와 두 무리를 구분해 선택했는지 살펴봅니다.

해설을 가린 뒤 처음부터 다시 해 보기

교사의 시범 뒤에는 문제의 조건과 구슬 자료는 그대로 두고, 설명과 정답만 가린 채 다시 시도하게 합니다. 구슬 21개를 아이가 다시 세 무리로 나누고, 먼저 1/3에 해당하는 한 무리를 고른 다음 2/3에 해당하는 두 무리를 고르게 합니다. 이미 14개가 완성된 모형을 그대로 보여 주는 것이 아니라, 아이가 21개를 다시 놓고 같은 개수인지 확인하도록 합니다. 교사는 “이번에는 무엇이 하나 늘었지?”라고 묻고, 아이가 두 번째 구역을 가리키거나 옮기는 행동으로 답을 보이는지도 인정합니다.

아이가 다시 8개를 고른다면 교사는 분수식의 숫자만 고치게 하기보다 한 무리에 구슬이 몇 개인지 다시 세어 보게 합니다. 첫 무리 7개와 두 번째 무리 7개를 이어 놓고 모두 몇 개인지 확인하면 7+7=14가 됩니다. 이 과정에서 분모 3은 구슬 3개라는 뜻이 아니라 전체를 나눈 같은 무리의 수이고, 분자 2는 그중 선택한 무리의 수라는 관계를 자료와 식으로 함께 확인합니다.

구슬 수가 달라진 새 문제와 다음 확인

이어서 전체 구슬을 24개로 바꿉니다. 이번에는 24개를 같은 개수의 세 무리로 나누면 한 무리에 8개가 들어갑니다. 1/3에서 2/3으로 선택 비율을 바꾸고 추가된 무리만 세면, 선택한 구슬은 8개에서 16개로 늘며 증가량은 8개입니다. 기본 문제와 달라진 것은 전체 구슬 수와 한 무리의 구슬 수이고, 전체를 같은 개수의 세 무리로 나누며 분자 하나가 선택한 무리 하나를 뜻한다는 관계는 그대로입니다.

추가로 구슬 12개를 2개, 4개, 6개처럼 서로 다르게 나눈 세 무리를 보여 줄 수도 있습니다. 무리 수가 셋이라는 이유만으로 바로 1/3이라고 읽을 수는 없습니다. 전체의 1/3이 되려면 세 무리의 개수가 같아야 하므로, 12개를 세 등분했을 때 한 무리는 4개입니다. 다음 활동에서는 숫자나 전체 수가 바뀌어도 아이가 답만 기억하는지, 같은 개수의 무리를 다시 만들고 선택한 무리를 옮겨 실제 이유를 보여 주는지 확인합니다.