반석동 초등수학과외

상의와 하의는 왜 6가지가 될까?

교육용 예시로, 상의 2종과 하의 3종 중에서 각각 하나씩 골라 함께 입는 상황을 생각해 보겠습니다. 상의는 A, B 두 종류이고 하의는 ①, ②, ③ 세 종류입니다. 질문은 “상의와 하의를 하나씩 고르면 모두 몇 가지일까?”입니다. 이때 아이가 선택지가 두 종류라는 말만 보고 2와 3을 더하거나, 두 종류가 나오면 언제나 곱해야 한다고 생각할 수도 있습니다. 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 상의 A를 먼저 정한 뒤 하의 ①, ②, ③을 차례로 대응하면 A-①, A-②, A-③ 세 짝이 생깁니다. 이어 상의 B를 고정하면 B-①, B-②, B-③ 세 짝이 더 생깁니다. 표에서 한 칸은 상의 하나와 하의 하나가 함께 이루는 짝을 뜻하므로, 빠짐없이 적으면 3+3, 즉 2×3=6가지입니다.

두 목록 중 하나만 고를 때는 무엇이 달라질까?

이번에는 조건을 바꾸어 상의와 하의를 함께 입지 않고, 상의와 하의를 합친 다섯 종류 중 물건 하나만 고른다고 하겠습니다. 상의 2종과 하의 3종은 서로 겹치지 않는 목록이므로 가능한 선택은 상의 2가지 또는 하의 3가지입니다. 이 경우에는 두 목록에서 하나씩 짝을 만드는 것이 아니라 전체 선택지를 한데 모아 하나를 고르므로 2+3=5가지입니다. 따라서 “선택지가 두 종류이면 언제나 곱한다”는 설명은 조건에 맞지 않습니다. 아이가 두 자료를 나란히 놓고 한 종류씩 짝을 만들면 곱셈 상황이고, 두 목록을 합쳐 하나만 집으면 덧셈 상황임을 구분해야 합니다. 표의 한 칸이 선택 두 개의 짝인지, 목록에서 고른 물건 하나인지가 판단의 기준입니다.

표와 자료로 오해가 생긴 지점을 다시 확인하기

교사는 상의 A를 가리키며 “이 상의와 연결할 하의는 모두 몇 개일까?”라고 묻고, 아이가 하의 세 가지를 하나씩 옮겨 A의 행에 놓도록 합니다. 같은 방법으로 상의 B의 행도 채우게 하면서 중복 항목, 빠진 조합, 기록하지 않은 칸이 있는지 함께 살핍니다. 아이가 말로 이유를 길게 설명하기 어렵다면 손가락으로 한 행의 세 칸을 짚거나, 자료를 옮겨 짝을 만든 뒤 표에 표시해도 됩니다. 반대로 하나만 고르는 조건에서는 두 목록을 합친 뒤 물건을 한 번씩 세도록 합니다. 상의와 하의를 짝짓지 않았는데 표의 칸 수를 만들려고 하면 교사는 “지금은 두 개를 함께 고르는가, 하나만 고르는가?”를 다시 묻습니다. 필요한 경우 한 행의 짝짓기를 시범으로 보인 뒤, 나머지 행은 아이가 직접 완성하게 합니다. 문제와 선택 자료는 그대로 두고 해설과 정답만 가린 상태에서, 아이가 상의 2종과 하의 3종을 다시 놓아 6개의 짝을 만들고 하나만 고르는 경우에는 5개를 세게 합니다.

조건을 바꾼 새 표에서 18가지를 확인하기

이해를 새 자료에 적용하기 위해 상의 6종과 하의 3종을 표에 넣어 보겠습니다. 이번에는 행과 열의 역할을 서로 바꾸어도 됩니다. 상의를 기준으로 세면 각 상의마다 하의 3종이 대응하여 6×3=18가지이고, 하의를 기준으로 세면 각 하의마다 상의 6종이 대응하여 3×6=18가지입니다. 표의 방향은 달라졌지만 한 칸이 상의 하나와 하의 하나의 짝이라는 관계는 그대로이므로 가능한 조합 수가 같습니다. 다음에는 상의 2종과 하의 3종 표에서 한 칸을 아직 기록하지 않은 상태도 살펴볼 수 있습니다. 금지 조합이 없다면 빈칸은 불가능한 경우가 아니라 아직 적지 않은 가능한 조합이므로 전체는 여전히 6가지입니다. 마지막에는 아이가 답 6, 5, 18을 기억해서 말하는지만 보지 않고, 바뀐 조건에 맞는 표나 자료를 직접 만들고 각 수가 어떤 선택을 나타내는지 가리키도록 확인합니다.