관평동 초등수학과외

9시 15분에 끝난 40분 활동, 어디에서 시작했을까

교육용 예시로 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 활동이 9시 15분에 끝났고 걸린 시간은 40분일 때, 시작 시각을 찾는 문제입니다. 정각과 날짜 경계를 표시한 시간선, 같은 간격의 분 눈금이 있는 시계를 준비합니다. 시간선에서 시각은 한 지점으로 표시하고, 걸린 시간은 시작 시각과 끝 시각 사이의 구간으로 나타냅니다. 먼저 아이가 시계의 시각을 읽고, 60분이 지나면 다음 시간이 된다는 관계를 시간선에 표시할 수 있는지 활동 전에 확인합니다. 이 능력을 이미 갖추었다고 단정하기보다, 실제 자료를 보며 어느 부분에서 도움을 필요로 하는지 살피는 과정입니다.

아이가 “끝 시각에서 40분을 빼면 정각이 된다”고 말할 수도 있습니다. 그러나 이 문제에서 정각이 항상 답이 되는 것은 아닙니다. 끝 시각에서 걸린 시간을 거꾸로 따라가면 활동이 시작된 시각을 찾게 됩니다. 9시 15분에서 40분을 한 번에 빼려다 8시 75분처럼 적는다면, 35분과 40분을 계산한 뒤 60분이 한 시간으로 바뀌는 과정을 놓친 것인지, 시각과 걸린 시간을 연결하는 데 어려움이 있는지는 바로 단정하지 않습니다. 시간선의 눈금과 시계를 함께 보며 어느 단계에서 막혔는지 확인합니다.

시간선에서 구간을 나누어 시작 시각 찾기

교사는 끝 지점인 9시 15분을 짚고 “40분 전으로 이동하면 무엇을 찾을까?”라고 묻습니다. 아이가 말로 설명하기 어렵다면 시간선의 9시 15분 지점과 9시 지점 사이를 먼저 손가락으로 따라가게 합니다. 9시 15분에서 15분을 되돌리면 9시에 도착합니다. 40분 중 이미 되돌린 시간은 15분이므로, 남은 시간은 25분입니다. 교사는 9시 지점에서 다시 왼쪽으로 25분만큼 이동하는 모습을 시범으로 보이고, 이어지는 구간은 아이가 직접 표시하게 합니다. 시간선의 같은 눈금이 같은 1분을 뜻하도록 하며, 시계의 숫자 사이 간격이 5분이라는 점도 필요한 범위에서 확인합니다.

아이는 9시에서 25분을 더 거꾸로 이동해 8시 35분을 가리킵니다. 따라서 시작 시각은 8시 35분입니다. 이때 9시 15분은 끝 시각, 40분은 걸린 시간, 8시 35분은 시작 시각으로 따로 적습니다. 시간선에서 8시 35분부터 9시까지 25분, 9시부터 9시 15분까지 15분이므로 두 구간을 합치면 40분입니다. 아이가 긴 문장으로 이유를 말하지 못하더라도 두 구간을 직접 표시하고 25분과 15분을 합쳐 40분을 만드는 행동이 확인 근거가 될 수 있습니다.

자료를 처음 상태로 되돌려 다시 풀어 보기

교사의 시범 뒤에는 문제와 시간선, 시계 자료는 그대로 두고 해설과 정답만 가린 채 다시 시도하게 합니다. 시간선이 이미 8시 35분을 가리키도록 남겨 두면 아이가 교환이나 이동 과정을 직접 했는지 확인하기 어려우므로, 시작 시각과 끝 시각을 다시 놓고 출발 지점을 정하지 않은 상태에서 활동을 시작합니다. 아이는 9시 15분을 끝 지점으로 표시한 뒤 15분을 거꾸로 이동해 9시에 도착하고, 남은 25분을 다시 이동해 8시 35분을 찾습니다. 교사는 “지금 찾은 것은 시작 시각일까, 걸린 시간일까?”라고 물어 세 요소를 구분하는지 확인합니다.

시작 시각이 달라진 새 문제에 적용하기

새 자료에서는 8시 35분에 시작해 40분 걸리던 활동을 10분 늦게 시작한다고 제시합니다. 기본 문제와 달리 시작 시각이 8시 35분에서 8시 45분으로 바뀌지만, 걸린 시간 40분은 그대로입니다. 아이는 새 시간선에서 8시 45분부터 40분을 앞으로 이동합니다. 8시 45분에서 15분이 지나면 9시이고, 남은 25분을 더하면 종료 시각은 9시 25분입니다. 마지막에는 기본 활동과 새 활동에서 달라진 것은 시작 시각이고, 그대로인 것은 걸린 시간이라는 점을 자료로 확인합니다. 답을 기억해 말하는지보다 시간선의 구간을 직접 표시하고, 시작 시각과 끝 시각 사이가 40분임을 보여 주는지 살펴보면 다음 활동을 준비하는 데 도움이 됩니다.