원신흥동 고등수학과외

공집합을 뺀 7개라는 답과 조건 다시 읽기

집합의 연산을 공부하다가 부분집합 개수에서 자주 생기는 혼동은 정답만 외워서 해결하기 어렵다. 예를 들어 A={a,b,c}의 부분집합 개수를 구하라는 문제에서 이렇게 답했다면, “공집합은 제외하므로 7개입니다”라고 생각한 셈이다. 이 계산은 A의 부분집합 중 공집합이 아닌 것만 센 결과로, 주어진 조건인 ‘부분집합 전체’와는 다르다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 먼저 풀이를 지우고, “아무 원소도 선택하지 않은 경우는 부분집합인가?”라고 묻는다. 학생이 공집합도 A의 부분집합이라고 답하는지, 원소와 그 원소들로 이루어진 부분집합을 혼동하는지 확인한다. ‘그리고’, ‘또는’, ‘아닌’이라는 말이 어느 대상과 범위에 연결되는지도 직접 표시하게 한다.

세 원소의 포함·불포함 선택을 직접 표시하기

A의 원소를 a, b, c로 나열한 뒤 각 원소가 부분집합에 들어가는 경우와 들어가지 않는 경우를 두 갈래로 적는다. a는 포함 또는 불포함, b도 포함 또는 불포함, c도 포함 또는 불포함이므로 세 자리마다 선택이 두 개씩 있다. 이때 조건이 따로 없다면 아무 원소도 선택하지 않은 경우도 허용되고, 모든 원소를 선택한 경우도 허용된다. 교사는 여기서 계산을 대신 끝내지 않고, 학생이 다음 줄에 선택 수를 식으로 연결하게 한다. 학생이 직접 수정해 2³=8이라고 쓰고, 공집합과 A도 포함된다고 설명한다면 처음의 7은 공집합을 제외했을 때의 수임을 비교할 수 있다. 따라서 정답은 8개이다. 원소 수별로 나누어 공집합 1개, 원소를 하나 고른 집합 3개, 두 개를 고른 집합 3개, 세 개를 고른 집합 1개를 나열하면 1+3+3+1=8이 되어 계산을 대조할 수 있다.

필수 원소가 생겼을 때 선택 자리를 줄여 다시 확인하기

같은 개념을 다시 적용할 때는 문제와 조건만 남기고, 앞에서 쓴 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 문제를 A={a,b,c}의 부분집합 중 a를 반드시 포함하는 것의 개수를 구하는 것으로 바꾸면, ‘부분집합’이라는 표현은 같지만 a를 반드시 포함한다는 실제 조건이 추가된다. a의 선택은 포함으로 고정되고, b와 c만 포함·불포함을 자유롭게 고르므로 2²=4이다. 목록은 {a}, {a,b}, {a,c}, {a,b,c}이며, a가 빠진 집합은 세지 않는다. 이렇게 답을 낸 뒤 네 집합을 모두 나열해 4개인지 대조한다. 다음 점검에서는 기본 문제의 정답을 보이지 않은 채 경계값이나 제외 조건부터 표시하게 하고, 같은 개념의 새 문제에서 무엇이 달라졌는지 한 문장으로 쓰게 한다. 부분집합을 세기 어렵다면 원소마다 포함·제외 두 선택을 적고, 반드시 포함해야 하는 원소의 선택은 먼저 고정하면 된다. 표현만 바뀐 문제인지 조건 자체가 달라진 문제인지 구분하는 습관까지 이어져야 계산과 검산이 함께 맞아간다.