도안신도시 초등수학과외

잘라 낸 모서리는 넓이에서 빠지고, 경계에서는 다시 보입니다

교육용 예시로, 다음 활동에서 아이가 복합도형을 보고 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 가로 8cm, 세로 6cm인 큰 직사각형의 오른쪽 위 모서리에서 가로 3cm, 세로 2cm인 직사각형을 잘라 냈습니다. 이제 남은 도형은 한쪽 모서리가 오목하게 들어간 ㄴ자 모양입니다. 아이에게 “잘라 낸 자리의 안쪽 경계도 남은 도형의 둘레에 들어갈까?”라고 묻자, 잘라 낸 부분은 없어졌으므로 그 자리에 생긴 3cm와 2cm 선분도 둘레에서 모두 제외한다고 생각할 수 있습니다. 그러나 이 선분들은 남은 종이와 종이 바깥이 실제로 만나는 경계입니다. 따라서 넓이를 구할 때 빼는 영역과, 둘레를 따라 셀 때 포함하는 선분은 서로 다른 역할을 합니다.

큰 도형과 빠진 부분을 자료로 구별하기

활동 전에는 큰 직사각형의 가로와 세로, 그리고 제거할 모서리 영역의 두 변 길이를 각각 읽어 넓이를 구할 수 있는지 확인합니다. 이것을 아이가 이미 할 수 있다고 단정하지 않고, 8cm×6cm 모눈 직사각형과 오른쪽 위의 3cm×2cm 모눈 영역을 구별해 보게 합니다. 큰 전체 안에 실제로 포함되어 있던 3cm×2cm 영역만 제거된 것이므로 남은 넓이는 큰 직사각형의 넓이에서 그 부분의 넓이를 빼서 생각합니다. 바닥의 모눈 선이나 뒤쪽 배경이 보이더라도 그것은 남은 종이에 포함된 칸이 아니므로 넓이에 더하지 않습니다.

교사는 먼저 잘라 낸 모서리 영역을 손가락으로 짚으며 “이 부분은 남은 도형에 들어 있을까?”라고 묻고, 큰 직사각형과 제거 영역을 따로 표시합니다. 아이가 바로 식을 쓰지 못하면 모눈 칸을 하나씩 옮겨 제거된 영역을 표시하게 합니다. 이어 남은 종이의 바깥 경계를 손가락으로 천천히 따라가며, 바깥쪽 직선뿐 아니라 오목하게 들어간 3cm와 2cm 선분에서도 손가락이 멈추는지 확인합니다. 아이가 말을 길게 하지 못해도 그 선분을 가리키거나 색칠하면 남은 종이와 바깥이 만나는 경계라는 뜻을 행동으로 나타낸 것입니다.

넓이의 식과 둘레의 선을 분리해 다시 풀기

이때 교사는 “잘라 낸 영역은 넓이에서 빼지만, 잘라 낸 뒤 새로 드러난 선은 남은 도형의 경계로 센다”라고 설명합니다. 아이는 큰 직사각형 안에서 3cm×2cm 부분을 실제로 떼어 내는 시범을 본 뒤, 다시 8cm×6cm 모형에서 오른쪽 위 3cm×2cm 영역을 표시하고 제거합니다. 그런 다음 남은 종이의 경계를 처음부터 끝까지 따라가며 오목한 3cm와 2cm도 표시합니다. 문제와 모형은 그대로 두고 해설과 정답만 가린 상태에서, 아이가 제거 영역을 다시 구별하고 경계를 직접 따라가게 하면 단순히 답을 기억한 것인지 자료의 관계를 이해한 것인지 확인할 수 있습니다.

확인할 핵심은 “없어진 부분의 넓이”와 “남은 도형에 새로 생긴 경계”를 같은 것으로 취급하지 않는가입니다. 아이가 3cm와 2cm 선분을 제외하려 한다면 교사는 그 선분의 한쪽에는 종이가 있고 다른 쪽에는 바깥이 있는지 짚어 보입니다. 아이는 해당 선분을 따라 손가락을 움직이거나 그림에 표시하고, 남은 도형의 둘레에 들어간다는 판단을 다시 보여 줍니다.

분해 방법이 달라도 같은 남은 넓이를 얻는지 확인하기

새 자료에서는 같은 8cm×6cm 직사각형에서 오른쪽 위 3cm×2cm를 뺀 ㄴ자 모양을 가로와 세로로 나누어 계산합니다. 가로로 나누면 아래쪽 직사각형과 왼쪽 위 직사각형이 되어 8×4＋5×2＝42cm²입니다. 세로로 나누면 왼쪽 직사각형과 오른쪽 아래 직사각형이 되어 5×6＋3×4＝42cm²입니다. 두 식은 나누는 위치가 다르지만 남아 있는 칸을 빠짐없이 한 번씩 나타내므로 같은 42cm²가 나옵니다. 아이는 두 분해 그림에서 어느 부분이 남아 있는지 손가락으로 짚고, 각 수가 가로·세로 길이와 어떤 직사각형을 뜻하는지 연결해 봅니다. 다음에는 숫자만 기억해 쓰는지, 달라진 자료에서도 제거된 영역과 남은 경계를 구별해 이유를 보여 주는지 확인합니다.