첨단지구 초등수학과외

이 글은 곱셈식의 분해와 겹침을 확인하는 교육용 예시입니다. 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 점이 가로 13개, 세로 3개로 배열된 점판이 있고, 전체 점의 수를 구해야 합니다. 점판에 세로 분해선을 그어 한쪽은 5열, 다른 쪽은 8열로 나타내려던 중, 5번째 열을 양쪽 그림에 모두 포함한 기록을 살펴봅니다. 아이는 3×5와 3×8을 계산한 뒤 두 결과를 더해 15+24=39라고 생각할 수도 있습니다. 반대로 실제 그림에서 5번째 열이 양쪽에 모두 그려진 상태라면 15+24에는 같은 점 3개가 두 번 들어갑니다.

경계선의 점이 중복되는 지점 살펴보기

교사는 먼저 “양쪽 부분에 함께 들어간 열은 어느 열인가요?”라고 묻고, 아이가 5번째 열의 점을 하나씩 짚어 보게 합니다. 이때 5번째 열은 세로로 점 3개가 놓인 한 열입니다. 아이가 말로 이유를 설명하기 어렵다면 교사는 그 열을 손가락으로 가리키거나 색연필로 표시해도 됩니다. 중요한 것은 두 부분의 경계에 있는 점을 각각 세었다는 사실을 자료에서 확인하는 것입니다. ‘경계에 있으니 두 번 세는 것이 맞다’고 해석하면 실제 점보다 많아집니다. 위치를 나누어 표시한 것과 점의 개수가 늘어난 것은 다르므로, 같은 점을 두 번 더하지 않아야 합니다.

곱셈식과 점의 배열을 다시 연결하기

교사는 한 부분의 행과 열을 함께 적어 보입니다. 왼쪽 부분은 3행 5열이므로 3×5=15개이고, 오른쪽 부분은 3행 8열이므로 3×8=24개입니다. 다만 두 부분에 공통으로 들어간 5번째 열의 3개는 한쪽에서 빼야 합니다. 따라서 전체는 3×5+3×8-3=36이 아니라는 점을 주의해야 합니다. 이 식은 오른쪽 부분을 8열로 잡으면서 이미 5번째 열을 제외한 나머지 8열을 뜻하는 경우에만 맞습니다. 현재 조건처럼 5번째 열을 양쪽에 모두 포함한 기록이라면 오른쪽 그림은 5번째 열을 포함한 9열이어야 하므로, 계산은 3×5+3×9-3=15+27-3=39입니다. 아이는 왼쪽 5열과 오른쪽 9열을 직접 세어 보고, 겹친 3개를 한쪽에서 치운 뒤 점이 39개 남는지 확인합니다.

교사는 세로 계산식이나 점 배열에서 공통 열을 표시한 뒤, 아이가 5번째 열의 점 3개를 한쪽 그림에서만 제외하도록 합니다. 아이가 숫자 3을 적는 것만으로 이해했다고 보지 않고, 실제로 점 3개를 가리키거나 옮기고, 15와 27이 어떤 배열을 나타내는지 연결하는지 살핍니다. 이후 문제와 점 배열 자료는 그대로 두고 해설과 정답만 가린 채 처음처럼 3행 13열을 놓아 보게 합니다. 아이가 두 부분의 열 수를 적고 겹친 열을 한 번만 세어 39개를 구하면, 활동을 통해 답과 근거를 다시 연결한 것입니다.

열 수가 달라진 새 문제에 적용하기

이번에는 새로운 점 배열인 3행 14열을 준비하고, 역시 5번째 열을 양쪽 분해 그림에 모두 포함한 기록을 검토합니다. 왼쪽이 3행 5열이면 15개, 오른쪽이 경계 열을 포함한 10열이면 30개입니다. 두 계산에는 같은 5번째 열의 점 3개가 겹치므로 15+30-3=42개가 됩니다. 아이는 앞 문제의 39를 그대로 말하는 대신, 새 배열의 전체 열 수가 14개로 바뀌었고 오른쪽 부분도 10열이 되었다는 점을 자료에서 확인해야 합니다. 점을 다시 세고 공통 열 3개를 한 번만 남겨 42개를 얻는지가 다음 확인 내용입니다.

분해 방법이 달라도 같은 전체를 나타내는지 확인하기

같은 3행 13열 배열을 10열과 3열로 나눈 그림, 5열과 8열로 나눈 그림도 비교할 수 있습니다. 이때 두 부분이 겹치지 않게 나누었다면 10×3+3×3=39이고, 5×3+8×3=39입니다. 아이가 두 식의 답만 기억하는지, 각 곱셈이 몇 행 몇 열의 점을 나타내는지 직접 가리키는지 확인합니다. 분해선의 위치가 달라도 겹침 없이 원래 배열을 이루면 전체 점의 수는 같다는 관계를, 새 자료에서 세고 그려 보며 다시 보여 주도록 합니다.