일곡동 초등수학과외

두 무늬가 겹친 칸은 무엇을 기준으로 셀까?

교육용 예시로 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 행과 열이 표시된 4열·3행 격자에 서로 다른 두 무늬를 놓습니다. 첫 번째 무늬는 왼쪽 2열, 두 번째 무늬는 아래 1행을 나타내도록 하고, 두 무늬가 함께 있는 부분을 찾습니다. 왼쪽 2열과 아래 1행이 만나는 칸은 2칸이며, 격자 전체는 12칸입니다. 따라서 원래 격자를 전체로 보면 겹친 부분은 2/12입니다.

이때 아이가 “겹친 영역을 전체로 바꾸어도 원래 분수는 그대로 2/12”라고 말할 수도 있습니다. 그러나 질문이 “겹친 영역을 새로운 전체로 보면 분수의 기준도 같을까?”라면 기준이 달라집니다. 원래 전체는 12칸이지만, 새 전체를 겹친 2칸으로 정하면 그 안의 겹친 부분은 전체와 같으므로 2/2, 즉 1이 됩니다. 답이 달라진 까닭은 계산을 바꾼 것이 아니라 전체로 삼은 넓이가 달라졌기 때문입니다.

원래 격자와 새 전체를 나누어 확인하기

교사는 먼저 격자의 행과 열을 함께 짚으며 전체 칸이 4×3=12칸임을 확인합니다. 이어 왼쪽 2열에 해당하는 칸과 아래 1행에 해당하는 칸을 각각 표시하고, 두 표시가 동시에 있는 칸만 따로 세어 보게 합니다. 아이가 표시된 칸을 하나씩 짚어 2칸을 확인하면, 그 수를 원래 전체 12칸과 연결해 2/12로 나타냅니다. 여기서 2는 겹친 칸의 수이고 12는 원래 격자 전체의 칸 수이므로 서로 다른 역할을 합니다.

그다음 교사는 겹친 두 칸을 둘러싸며 “이번에는 이 두 칸을 새로운 전체라고 하면, 그 안에서 겹친 칸은 몇 칸일까?”라고 묻습니다. 아이가 말로 설명하기 어려우면 교사가 한 칸을 가리킨 뒤 나머지 한 칸을 아이가 직접 가리키거나 옮겨 보게 합니다. 새 전체 안의 겹친 부분은 두 칸 모두이므로 2/2=1입니다. 아이가 식을 바로 쓰지 못해도 2칸 중 2칸을 표시하고, ‘전부’와 ‘겹친 부분’이 같은 범위임을 보여 주면 기준이 바뀐 점을 확인할 수 있습니다.

자료를 처음 상태로 놓고 다시 풀어 보기

재시도에서는 문제와 격자 자료는 그대로 두고 해설과 정답만 가립니다. 교사는 격자를 다시 4열·3행으로 놓고 왼쪽 2열과 아래 1행의 표시를 처음부터 구성하게 합니다. 아이는 두 무늬가 함께 있는 칸을 찾아 2칸을 세고, 원래 전체 12칸을 확인한 뒤 2/12를 적습니다. 이후 교사가 겹친 2칸을 새로운 전체로 정해 주면, 아이는 그 두 칸 안에서 겹친 칸이 몇 칸인지 다시 표시해 2/2=1을 구합니다.

이 과정에서 교사는 아이가 단순히 답을 기억하는지, 아니면 자료의 범위를 바꾸어 분수의 분모가 달라지는 이유를 행동으로 보여 주는지 살핍니다. 격자 전체를 손가락으로 한 바퀴 짚으면 12칸을, 새로 정한 두 칸만 묶어 가리키면 2칸을 기준으로 삼았다는 뜻입니다. 같은 칸이라도 어떤 범위를 전체로 정하는지에 따라 분수의 표현이 달라질 수 있음을 확인하는 활동입니다.

겹침과 합집합을 구분하는 새 문제

이어서 새로운 확인으로 4열·3행 격자에서 왼쪽 2열과 아래 1행 중 어느 한 무늬라도 있는 영역을 세어 봅니다. 왼쪽 2열은 6칸, 아래 1행은 4칸이지만, 두 무늬가 겹친 2칸은 두 번 세었으므로 한 번 빼야 합니다. 따라서 6+4-2=8칸입니다. 앞의 문제는 두 무늬가 함께 있는 겹친 부분만 구해 2칸을 센 것이고, 새 문제는 어느 한 무늬라도 있는 부분을 구해 8칸을 세는 점이 다릅니다. 아이가 두 영역을 각각 표시한 뒤 겹친 칸을 한 번만 남겨 답을 구한다면, 다음에는 숫자만 기억하지 않고 질문의 조건과 전체의 기준을 자료로 확인하는지 살펴볼 수 있습니다.