첨단지구 수학과외

넓이비 9:25를 그대로 답으로 쓴 이유

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “닮은 도형의 넓이비가 9:25다. 대응변 길이비는?” 학생은 문제에 제시된 9:25를 그대로 사용해 “대응변 길이비도 9:25다.”라고 적었습니다. 답에 사용한 수 자체는 문제에 들어 있지만, 문제에서 묻는 값은 넓이가 아니라 대응변의 길이비입니다. 따라서 넓이비와 길이비가 같은 양처럼 취급된 지점이 잘못된 판단입니다.

교사는 먼저 “9와 25는 각각 무엇의 비인가요? 지금 구해야 하는 것은 넓이인가요, 길이인가요?”라고 묻습니다. 학생이 닮은 도형에서 대응변의 길이비와 넓이비가 어떻게 연결되는지 바로 설명하지 못하더라도, 처음 답을 틀렸다고 단정하기보다 문제의 요구와 주어진 조건을 나누어 살핍니다. 학생이 ‘넓이비를 길이비로 바꾸는 과정’을 말로는 알고도 이 문제에서 적용하지 못했다면, 처음 달라진 식과 조건 해석부터 다시 확인합니다.

넓이비와 대응변 길이비를 구분하는 수업

닮은 도형에서 대응변의 길이비를 a:b라고 하면, 넓이비는 각 길이비를 제곱한 a²:b²가 됩니다. 이 문제의 넓이비가 9:25이므로 길이비는 그 비를 만드는 양의 제곱근을 찾아야 합니다. 9의 양의 제곱근은 3이고 25의 양의 제곱근은 5이므로 대응변 길이비는 3:5입니다. 여기서 양의 제곱근을 사용하는 까닭은 도형의 길이는 음수가 될 수 없기 때문입니다.

교사는 “길이비 3:5를 제곱하면 문제의 넓이비가 되는지 먼저 확인해 보자.”라고 설명한 뒤, 필요한 한 단계를 함께 씁니다. 학생이 바로 이어서 풀기 어렵다면 교사가 9와 25가 각각 어떤 제곱수인지 짚어 주고, 학생은 그 도움을 이용해 3과 5를 찾아 비로 정리합니다. 단순히 3:5를 표시하는 데서 멈추지 않고, 처음 답 9:25에서 무엇을 바꾸었는지 문제의 조건과 연결해 설명하도록 합니다. 즉, 9:25는 넓이비로 남겨 두고, 대응변의 길이비를 구하기 위해 양의 제곱근을 취했다는 점을 풀이에 반영합니다.

수정 풀이와 조건 대입으로 확인하기

학생의 수정 풀이는 다음과 같이 정리할 수 있습니다. “넓이비가 9:25이므로 대응변 길이비를 x:y라고 하면 x²:y²=9:25이다. 길이는 양수이므로 x:y=3:5이다.” 이때 구한 3과 5는 넓이가 아니라 대응변의 길이비를 나타냅니다. 두 도형이 닮았다는 조건이 있기 때문에 대응하는 모든 길이가 같은 비로 확대 또는 축소되고, 그 결과 넓이의 비가 길이비의 제곱으로 연결됩니다.

검산은 풀이를 그대로 반복하는 대신 수정한 길이비를 원래 넓이비와 대조하는 방식으로 합니다. 3:5를 제곱하면 3²:5²=9:25가 되어 주어진 넓이비와 일치합니다. 이 확인을 통해 3:5가 길이비이고 9:25가 넓이비라는 역할도 함께 분명해집니다. 이후에는 수정 풀이와 답을 가린 상태에서 학생이 같은 대표 문제를 다시 시작하게 합니다. 혼자 풀지 못하면 개념 설명이 더 필요한지, 제곱근 계산에서 막혔는지에 따라 도움의 양을 조절합니다.

새 넓이비에 적용하고 다음 판단을 확인하기

새 적용 문제로 “닮은 두 도형의 넓이비가 16:25일 때 길이비는?”을 제시합니다. 문제의 수치만 달라졌고, 두 도형이 닮았다는 조건과 넓이비에서 길이비를 구한다는 요구는 같습니다. 따라서 이전처럼 넓이비에 양의 제곱근을 취할 수 있습니다. 16의 양의 제곱근은 4, 25의 양의 제곱근은 5이므로 길이비는 4:5입니다. 학생이 4:5를 답으로 쓰는 것뿐 아니라, 4²:5²=16:25라고 근거를 설명하는지를 확인합니다.

필요하다면 “대응변이 7배가 되면 넓이도 7배”라는 설명이 항상 맞는지 비교해 볼 수 있습니다. 한 변이 1cm인 정사각형을 한 변이 7cm인 정사각형으로 확대하면 길이의 배율은 7이지만 넓이는 1cm²에서 49cm²가 되어 49배가 됩니다. 이 문제는 길이의 배율과 넓이의 배율을 구분하는 데 도움이 되는 선택 자료입니다. 다음 수업에서는 학생이 새 문제의 풀이와 답을 가린 풀이 자료만 보고, 길이비와 넓이비의 관계를 스스로 다시 구성해 적용하는지를 확인합니다.