방림동 고등수학과외

교사의 설명과 풀이를 가린 뒤, 다음과 같이 다시 시도해 보자. 비음수 정수 $x,y,z$가 $x+y+z=3$, $x\le 1$을 만족할 때 해의 개수를 구하는 문제다. 먼저 “$x=2,3$인 해도 새 조건에 맞는가?”라고 묻고, 식에 직접 대입해 조건을 확인한다. $x=2$와 $x=3$은 $x\le1$을 만족하지 않으므로 포함할 수 없다. 이 판단의 근거를 말하지 못한다면 단순히 답을 외운 것이 아니라, 조건이 해의 범위를 어떻게 제한하는지부터 다시 살펴야 한다.

전체 중복조합을 그대로 쓰면 무엇을 놓치는가

조건 $x+y+z=3$만 보면 비음수 정수해의 개수는 중복조합으로 ${}_3H_3={}_5C_2=10$개다. 그러나 이 10개에는 $x=2$ 또는 $x=3$인 경우도 들어 있다. 처음에 전체 답 10개를 그대로 썼다면, 중복조합의 계산 자체가 틀렸다기보다 추가 조건 $x\le1$을 계산 결과에 반영하지 않은 것이다. 여기서 개수 선택에 순서가 있는지, 각 변수에 배정된 개수를 어떤 방식으로 세는지 확인해야 한다. 이항정리와 연결해 생각할 때도 이항계수는 어느 자리에서 한 항을 고를지를 세는 수이고, 선택 횟수와 각 항의 지수가 대응한다는 점을 구분해야 한다.

조건에 맞는 경우를 나누어 직접 세기

교사는 $x$가 가질 수 있는 값만 먼저 적게 한다. $x$는 비음수 정수이고 $x\le1$이므로 $x=0,1$뿐이다. $x=0$이면 $y+z=3$이므로 $(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)$의 4개다. $x=1$이면 $y+z=2$이므로 3개다. 따라서 학생이 직접 계산한 $4+3=7$은 조건에 맞는 결과다. 이후 원래 조건과 후보를 대조하면, $x=2,3$인 경우는 각각 $y+z=1,0$에서 2개와 1개가 생기지만 상한을 어기므로 제외된다. 전체 10개에서 이 3개를 빼도 $10-3=7$이어서 같은 답을 얻는다.

풀이를 가린 상태에서 조건이 바뀌면 다시 적용하기

이제 풀이와 정답을 덮고, 문제와 조건만 남긴다. 비음수 정수 $x,y,z$가 $x+y+z=3$을 만족하는 해의 개수를 구한다. 이번에는 $x\le1$이라는 상한이 없다. 비음수 정수해를 세는 방법은 그대로 적용하여 ${}_3H_3={}_5C_2=10$개라고 쓰고, 왜 0을 허용하는 개수 배정인지 설명한다. 이어 $x=0,1,2,3$일 때 $y,z$의 해가 각각 4, 3, 2, 1개임을 적어 합이 10인지 대조한다. 앞 문제와 식의 모양이 비슷해도 상한의 유무는 실제 조건의 변화이므로, 표현만 바뀐 경우와 구별해야 한다. 교사의 설명을 보지 않고 “$x=2,3$은 이번에는 허용된다”는 답과 근거, 두 풀이의 검산까지 맞히면 다음 점검으로 넘어간다. 중복조합 조건이 헷갈릴 때는 종류별 개수의 합, 허용되는 최소·최대 개수, 남는 개수를 차례로 적으면 배움노트 고등수학 수업에서도 풀이의 근거를 스스로 복원할 수 있다.