진월지구 고등수학과외

먼저 확인하는 수정 풀이

“4·3/2=6cm².” 이 식은 두 변의 길이가 4cm와 6cm이고 그 사이의 끼인각이 30°인 삼각형에서, 한 변을 밑변으로 보고 다른 변에서 내린 높이를 이용한 결과다. 6sin30°=3cm이므로 밑변과 높이의 곱을 2로 나누어 4·3/2=6cm²를 얻는다. 배움노트 고등수학 수업에서는 답만 고치는 데 그치지 않고, 학생이 왜 높이를 3cm로 정했는지와 왜 마지막에 2로 나누었는지를 직접 말하고 식으로 남기게 한다.

오답에서 빠진 판단을 질문으로 확인하기

처음에 4·6·sin30°=12cm²라고 썼다면 계산 자체보다 넓이의 구조를 먼저 살핀다. “평행사변형 넓이와 삼각형 넓이의 비는?”이라고 물어 학생이 두 도형의 관계를 직접 표시하게 한다. 두 변과 끼인각으로 만든 평행사변형의 넓이는 ab sin C이고, 삼각형은 그 절반이므로 (1/2)ab sin C가 된다. 따라서 이 오답에서는 삼각형의 1/2을 빠뜨렸을 가능성을 확인해야 한다. 다만 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고, 학생에게 처음 식에서 빠진 판단에 밑줄을 긋게 한 뒤 평행사변형을 반으로 나눈 그림과 대조하게 한다.

또 다른 확인은 사인과 높이에 대한 해석이다. 끼인각 C는 삼각형의 내부각이므로 0°와 180° 사이에 있고, 이 범위에서 sin C는 양수다. 둔각이라는 이유만으로 사인값이나 높이를 음수로 두지 않는다. 학생이 30°를 이용해 6sin30°=3cm를 계산하고, 밑변·높이·1/2을 각각 표시해 4×3÷2=6이라고 등식을 완성하게 한다. 이렇게 하면 공식 암기와 도형의 높이 해석을 구분할 수 있다.

같은 원리와 조건을 바꿔 다시 검증하기

대표 문제의 조건은 두 변 4cm, 6cm와 끼인각 30°이며, 정답은 6cm²다. 검산으로 (1/2)·4·6·sin30°=(1/2)·4·6·(1/2)=6을 다시 계산해 같은 값을 얻는다. 그다음 문제와 정답·검산 문장을 가린 상태에서, 두 변의 길이는 그대로 두고 끼인각을 150°로 바꾸어 넓이를 구한다. 학생은 도형을 다시 그리면서 밑변 4cm와 다른 변 6cm, 끼인각 150°를 표시하고, 직각이 겉으로 보인다고 가정하지 않아야 한다. 밑변 연장선에 내린 높이의 길이는 6sin150°=3cm이므로 넓이는 (1/2)·4·3=6cm²이다.

sin150°=sin30°=1/2이므로 두 넓이는 같지만 삼각형의 모양은 다르다. 이는 표현만 바꾼 것이 아니라 실제 끼인각 조건이 달라진 경우에도 사인값을 통해 넓이를 비교한 것이다. 마지막에는 학생이 계산 결과와 성립 조건을 따로 적었는지 확인한다. “두 변과 그 사이의 각이 주어지고, 그 각은 0°와 180° 사이의 삼각형의 끼인각이다”라는 조건을 남긴 채 풀이와 정답을 가리고 다시 시작하면, 공식에 숫자만 넣는지 아니면 높이와 삼각형의 절반 관계까지 스스로 재현하는지 분명히 볼 수 있다.