방서동 고등수학과외

예시 답안의 마지막에 “t=2ˣ에서 t=2, −1이므로 2ˣ=−1도 해가 있다”고 적혀 있다면, 곧바로 계산 실수라고 결론 내리지 않고 어느 단계에서 판단이 달라졌는지 확인한다. 문제는 실수 x에 대해 4ˣ−2ˣ−2=0을 푸는 것이다. 먼저 4ˣ=(2ˣ)²이므로 t=2ˣ로 치환할 수 있지만, 이때 t는 아무 실수나 될 수 있는 값이 아니다. 실수 x에서 2ˣ는 항상 양수이므로 반드시 t>0이라는 조건을 함께 기록해야 한다.

치환한 식과 허용되는 값 구분하기

치환하면 t²−t−2=0이고, 이를 인수분해하면 (t−2)(t+1)=0이다. 따라서 대수식만 놓고 보면 t=2 또는 t=−1을 얻는다. 여기서 확인 질문을 던진다. “2ˣ가 음수가 될 수 있는가?” 학생이 지수함수의 출력 범위를 직접 적고, 두 근 중 조건 t>0을 만족하는 값을 표시하게 한다. t=2는 허용되지만 t=−1은 실수 지수함수의 출력 범위 밖이므로 원래 식의 해로 되돌릴 수 없다.

같은 밑으로 나타낸 지수식에서는 밑의 성질도 함께 살펴야 한다. 2ˣ은 밑이 1보다 큰 지수함수이므로 모든 실수 x에서 양수이고, 일대일이다. 등식 2ˣ=2에서는 지수를 비교하여 x=1을 얻는다. 반면 지수부등식이라면 밑이 1보다 큰지, 0과 1 사이인지에 따라 대소 관계가 달라지므로 먼저 밑의 범위를 확인해야 한다. 교사는 첫 비교인 “t>0이므로 t=2만 남는다”까지만 제시하고, 인수분해와 원래 변수로의 복원은 학생이 직접 적도록 한다.

학생이 수정 풀이를 끝까지 쓰는 과정

학생은 t=2ˣ>0이라고 쓴 뒤, (t−2)(t+1)=0에서 가능한 값은 t=2뿐이라고 정리한다. 이어 2ˣ=2이므로 x=1이라고 적는다. 정답을 쓴 뒤에는 원래 식에 대입하여 4−2−2=0인지 검산한다. 이 검산은 x=1이 실제로 식을 만족하는지 확인하는 절차이며, t=−1을 해로 인정할 근거가 될 수는 없다. 따라서 바른 결론은 x=1이고, 그 이유는 치환값의 조건 t>0을 끝까지 적용했기 때문이라고 학생 자신의 문장으로 남긴다.

배움노트 고등수학 수업 수업에서는 오답의 마지막 줄을 비워 두고 “t=−1은 왜 제외되는가?”와 “치환한 값을 어떻게 x로 되돌리는가?”를 직접 채우게 할 수 있다. 이렇게 하면 인수분해 결과를 모두 답으로 옮기는 습관과, 치환 조건을 빠뜨리는 습관을 따로 확인할 수 있다.

조건을 바꾼 문제에 독립적으로 다시 적용하기

같은 표현을 반복하는 대신 문제와 조건만 남긴 자료를 준비한다. “실수 x에 대해 4ˣ−3·2ˣ+2=0을 풀어라”라는 문제와 t=2ˣ라는 치환 조건만 보이게 하고, 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 학생은 먼저 2ˣ>0을 표시한 뒤 4ˣ=t²로 바꾸어 t²−3t+2=0, 즉 (t−1)(t−2)=0을 얻는다. 두 근 모두 양수이므로 2ˣ=1 또는 2ˣ=2로 되돌릴 수 있고, 각각 x=0, x=1이다.

마지막으로 4⁰−3·2⁰+2=1−3+2=0, 4¹−3·2¹+2=4−6+2=0을 대입해 두 값을 검산한다. 이때 앞 문제와 달라진 계수와 상수항을 먼저 표시했는지, 치환 후 얻은 근의 개수를 양수 조건과 대조했는지 살핀다. 다음 점검에서는 풀이를 마친 뒤에도 “치환값의 조건을 썼는가, 원래 변수로 되돌렸는가, 원식에 대입했는가”를 순서대로 확인하게 한다.